DGL in Zylinderkoordinaten < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:11 Di 08.04.2008 | | Autor: | her_mann |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [Älter als 4 Stunden]
![[]](/images/popup.gif) http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=100502&start=0&lps=732639#v732639
Ich habe eine Schwierigkeit beim Lösen einer DGL.
Die DGL lautet:
[mm]1/r \frac{d f(r,z)}{d r} + \frac{d^2 f(r,z)}{d r^2} + \frac{d^2 f(r,z)}{d z^2} + \frac{f(r,z)}{L^2} - K = 0[/mm]
Ist [mm]f(r,z) = f(r)[/mm] finde ich die Lösung
[mm]f(r) = A * J_0(r/L) + B * N_0(r/L) + K*L^2[/mm]
dabei sind
[mm]J_0, N_0[/mm]
Bessel Funktionen erster, bzw. zweiter Art.
Nun komme ich aber nicht weiter, wenn ich die z-Abhängigkeit einfüge!
Hat jemand eine Idee/Hilfestellung für mich?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: [Älter als 4 Stunden]
>
> http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=100502&start=0&lps=732639#v732639
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> Ich habe eine Schwierigkeit beim Lösen einer DGL.
>
> Die DGL lautet:
>
> [mm]1/r \frac{d f(r,z)}{d r} + \frac{d^2 f(r,z)}{d r^2} + \frac{d^2 f(r,z)}{d z^2} + \frac{f(r,z)}{L^2} - K = 0[/mm]
>
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> Ist [mm]f(r,z) = f(r)[/mm] finde ich die Lösung
>
> [mm]f(r) = A * J_0(r/L) + B * N_0(r/L) + K*L^2[/mm]
>
> dabei sind
>
> [mm]J_0, N_0[/mm]
>
>
> Bessel Funktionen erster, bzw. zweiter Art.
In so einem Fall (lineare DGL, getrennte Ableitungen nach r und z) kann man einen Separationsansatz machen:
[mm] f(r,z) = g(r) * h(z) [/mm]
Dann dividiert man durch f(r,z) und hat zwei Summanden, von denen der eine nur von r, der andere nur von z abhängt. Daher muss jeder für sich konstant sein und die DGL zerfällt in zwei gewöhnliche DGLen für g und h.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 09.04.2008 | | Autor: | her_mann |
Ja, das ist richtig. Das funktioniert auch wunderbar, wenn ich nicht noch die Konstante K am Ende hätte. Dort stehen dann beide Funktionen g(r) und h(z) und lassen sich nicht separieren.
Das Problem müsste sich damit auf das finden der speziellen Lösung beschränken, oder? Nur stellt sich mir da gerade die Frage: wie?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mi 09.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja, das ist richtig. Das funktioniert auch wunderbar, wenn
> ich nicht noch die Konstante K am Ende hätte. Dort stehen
> dann beide Funktionen g(r) und h(z) und lassen sich nicht
> separieren.
Ah sorry, ich habe übersehen, dass beim K kein f mehr stand.
Definiere ein [mm] $f_1(r,z)$ [/mm] so, dass die Konstante K wegfällt:
[mm] f_1(r,z) = f(r,z) - L^2K[/mm]
und mache den Separationsansatz für [mm] $f_1$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 09.04.2008 | | Autor: | her_mann |
Ja ok. Ich komme damit auf eine Lösung:
[mm]f(r,z) = g(r)*h(z) + L^2\cdot K[/mm]
wobei
[mm]
\frac{d^2 g(r)}{dr^2} = c \cdot g(r) - \frac{1}{r}\frac{d g(r)}{dr}
[/mm]
und
[mm]
\frac{d^2 h(z)}{dz^2} = c \cdot h(z) - \frac{h(z)}{L^2}
[/mm]
Ich habe die DGL mal in Maple lösen lassen, dort bekomme ich eine Lösung:
[mm]f(r,z) = g(r)\cdot h(z) + L^2\cdot K \left(1 + A\cdot J_0(r/L) + B\cdot Y_0(r/L)\right) [/mm]
Da weiß ich jetzt nicht wo die letzten beiden Terme herkommen .. oder habe den Separationsansatz falsch gemacht? Irgendwie kommt mir das Ergebnis noch komisch vor:
[mm]f_1(r,z)=f(r,z) - L^2\cdot K = g(r)*h(z)[/mm]
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mi 09.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja ok. Ich komme damit auf eine Lösung:
>
> [mm]f(r,z) = g(r)*h(z) + L^2\cdot K[/mm]
>
> wobei
>
> [mm]\frac{d^2 g(r)}{dr^2} = c \cdot g(r) - \frac{1}{r}\frac{d g(r)}{dr}[/mm]
>
> und
> [mm]\frac{d^2 h(z)}{dz^2} = c \cdot h(z) - \frac{h(z)}{L^2}[/mm]
Da hast du ein Vorzeichen falsch: vor einem der Faktoren c muss ein Minuszeichen stehen.
Ich würde dir raten, statt c in der ersten Gleichung [mm] $-\nu^2$ [/mm] zu schreiben:
[mm] \frac{d^2 g(r)}{dr^2} = -\nu^2 r^2 g(r) - \frac{1}{r}\frac{d g(r)}{dr}[/mm]
[mm]\frac{d^2 h(z)}{dz^2} = +\nu^2 h(z) - \frac{h(z)}{L^2}[/mm]
oder:
[mm] r^2 g''(r) + r g'(r) + \nu^2 r^2 g(r) = 0 [/mm]
[mm] h''(z) + (L^2-\nu^2) h(z) = 0 [/mm].
Mit der Substitution [mm] $s=\nu [/mm] r$, [mm] $\tilde{g}(s) [/mm] := [mm] g(s/\nu)$ [/mm] geht die erste in die Besselsche DGL zur Ordnung 0 über:
[mm] s^2 \tilde{g}''(s) +s \tilde{g}'(s) + s^2 \tilde{g}(s) = 0[/mm],
die die beiden Lösungen [mm] $J_0(s)$ [/mm] und [mm] $Y_0(s)$ [/mm] hat.
Die zweite DGL hat die Lösungen [mm] $\exp(\pm [/mm] i [mm] \sqrt{L^2-\nu^2} [/mm] z)$.
Wie du siehst, hängen deine Lösungen von dem Parameter [mm] $\nu$ [/mm] ab, für jeden Wert von [mm] $\nu$ [/mm] bekommst du eine andere Lösung. Das bedeutet, dass deine allgemeine Lösung eine Linearkombination aller dieser Lösungen für alle möglichen Werte von [mm] $\nu$ [/mm] ist. Normalerweise wird dieser Parameter durch die Randbedingungen eingeschränkt.
> Ich habe die DGL mal in Maple lösen lassen, dort bekomme
> ich eine Lösung:
>
> [mm]f(r,z) = g(r)\cdot h(z) + L^2\cdot K \left(1 + A\cdot J_0(r/L) + B\cdot Y_0(r/L)\right)[/mm]
>
> Da weiß ich jetzt nicht wo die letzten beiden Terme
> herkommen .. oder habe den Separationsansatz falsch
> gemacht?
Nein ist schon richtig, allerdings muss man die allgemeine Lösung anschauen, um das zu sehen. Der zusätzliche Term ergibt sich aus der Lösung für den Fall [mm] $\nu=L$. [/mm] Dann ist nämlich $s=r/L$ und die DGL für h(z) vereinfacht sich zu $h''(z)=0$, oder $h(z)= [mm] C_1 [/mm] z [mm] +C_2$. [/mm] Dein Zusatzterm ist gerade der Anteil, der von [mm] $C_2$ [/mm] herkommt.
Viele Grüße
Rainer
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Und in meine Lösung
$ f(r,z) = [mm] g(r)\cdot [/mm] h(z) + [mm] L^2\cdot [/mm] K [mm] \left(1 + A\cdot J_0(r/L) + B\cdot Y_0(r/L)\right) [/mm] $
setze ich dann für
$g(r) = [mm] A*J_0(r/L) [/mm] + [mm] B*Y_0(r/L)$
[/mm]
$h(z) = [mm] C_1*z$ [/mm] ein (weil [mm] C_2 [/mm] ja schon in den 2 Termen steckt)?
Also erhalte ich (wenn ich mich jetzt mit den ganzen Konstanten vertue) und mit $ h(z)= [mm] C_1 [/mm] z [mm] +C_2 [/mm] $:
$f(r,z) = [mm] (A*J_0(r/L) [/mm] + [mm] B*Y_0(r/L)) [/mm] * [mm] (C_1*z [/mm] + [mm] C_2) [/mm] + [mm] L^2*K$
[/mm]
$f(r,z) = [mm] (A*J_0(r/L) [/mm] + [mm] B*Y_0(r/L)) [/mm] * [mm] (C_1*z) [/mm] + [mm] L^2 [/mm] * K *( 1 + [mm] C^\sim_2 [/mm] * [mm] (A*J_0(r/L) [/mm] + [mm] B*Y_0(r/L)))$
[/mm]
Schonmal recht herzlichen Dank für die tolle Hilfe!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 19.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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