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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL lösen
DGL lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL lösen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:26 Mo 12.05.2014
Autor: Babybel73

Hallo zusammen

Muss folgende Aufgabe lösen:
Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung:
[mm] (1-x^2)y'-xy+1=0 [/mm]

So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr weiter...


[mm] (1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} [/mm]


1) Homogene Gleichung lösen: [mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0 [/mm]

Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
[mm] y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C [/mm]


2) Variation der Konstanten C:
[mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes [/mm]

[mm] y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2} [/mm]

Eingesetzt in [mm] \otimes [/mm] ergibt sich:

[mm] C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2-1} [/mm]

Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
Wo ist mein Fehler?

Vielen Dank für eure Hilfe!!!




        
Bezug
DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Mo 12.05.2014
Autor: fred97


> Hallo zusammen
>  
> Muss folgende Aufgabe lösen:
> Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> Differentialgleichung:
> [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
>  
> So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> weiter...
>  
>
> [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>  
>
> 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
>  
> Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]



Das stimmt nicht !

Edit: es stimmt doch !

FRED

>  
>
> 2) Variation der Konstanten C:
>  [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
>  
> [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>  
> Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
>
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>
> Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
>  Wo ist mein Fehler?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!!
>
>
>  


Bezug
                
Bezug
DGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:32 Mo 12.05.2014
Autor: Babybel73

Hallo FRED

> > Hallo zusammen
>  >  
> > Muss folgende Aufgabe lösen:
> > Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> > Differentialgleichung:
> > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
>  >  
> > So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> > Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> > weiter...
>  >  
> >
> > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>  
> >  

> >
> > 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
>  >  
> > Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> > [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]
>  
>
>
> Das stimmt nicht !
>  
> FRED




Also ich muss doch für die homogene Gleichung folgendes lösen:
[mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}*y=0 [/mm]
Via Trennung der Variablen:

[mm] \bruch{dy}{dx}=-\bruch{x}{x^2-1}*y [/mm]

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^2-1} dx} \Rightarrow ln(y)=-1/2*ln(x^2-1)+C \Rightarrow y=e^{-1/2*ln(x^2-1)}*e^C \Rightarrow y=e^{(ln(x^2-1))^{-1/2}}*e^C \Rightarrow [/mm] y= [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*e^C [/mm]

Wo ist also mein Fehler??




>  >  
> >
> > 2) Variation der Konstanten C:
>  >  [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
>  >  
> > [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>  
> >  

> > Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
> >
> >
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> >
> > Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
>  >  Wo ist mein Fehler?
> >
> > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> >
> >
> >  

>  


Bezug
                        
Bezug
DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Mo 12.05.2014
Autor: fred97


> Hallo FRED
>  
> > > Hallo zusammen
>  >  >  
> > > Muss folgende Aufgabe lösen:
> > > Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> > > Differentialgleichung:
> > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
>  >  >  
> > > So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> > > Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> > > weiter...
>  >  >  
> > >
> > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > >
> > > 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
>  >  >  
> > > Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> > > [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]
>  >  
> >
> >
> > Das stimmt nicht !
>  >  
> > FRED
>  
>
>
>
> Also ich muss doch für die homogene Gleichung folgendes
> lösen:
>  [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}*y=0[/mm]
>  Via Trennung der Variablen:
>  
> [mm]\bruch{dy}{dx}=-\bruch{x}{x^2-1}*y[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^2-1} dx} \Rightarrow ln(y)=-1/2*ln(x^2-1)+C \Rightarrow y=e^{-1/2*ln(x^2-1)}*e^C \Rightarrow y=e^{(ln(x^2-1))^{-1/2}}*e^C \Rightarrow[/mm]
> y= [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*e^C[/mm]
>  
> Wo ist also mein Fehler??

Pardon, ich hab mich vertan. Du hast recht.

FRED

>  
>
>
>
> >  >  

> > >
> > > 2) Variation der Konstanten C:
>  >  >  [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
> > >
> > >
> >
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> > > = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> > >
> > > Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
>  >  >  Wo ist mein Fehler?
> > >
> > > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> > >
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Bezug
                                
Bezug
DGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Mo 12.05.2014
Autor: Babybel73

Hallo FRED
>  >  
> > > > Hallo zusammen
>  >  >  >  
> > > > Muss folgende Aufgabe lösen:
> > > > Bestimme die allgemeine Lösung der folgenden
> > > > Differentialgleichung:
> > > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0[/mm]
>  >  >  >  
> > > > So nun habe ich gedacht, ich könnte es anhand der
> > > > Variation der Konstanten berechnen, aber komme nicht mehr
> > > > weiter...
>  >  >  >  
> > > >
> > > > [mm](1-x^2)y'-xy+1=0 \gdw y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > >
> > > > 1) Homogene Gleichung lösen: [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=0[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Via Trennung der Variablen erhalte ich hier die Lösung:
> > > > [mm]y_h=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*C[/mm]
>  >  >  
> > >
> > >
> > > Das stimmt nicht !
>  >  >  
> > > FRED
>  >  
> >
> >
> >
> > Also ich muss doch für die homogene Gleichung folgendes
> > lösen:
>  >  [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}*y=0[/mm]
>  >  Via Trennung der Variablen:
>  >  
> > [mm]\bruch{dy}{dx}=-\bruch{x}{x^2-1}*y[/mm]
>  >  
> >
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=-\integral_{}^{}{\bruch{x}{x^2-1} dx} \Rightarrow ln(y)=-1/2*ln(x^2-1)+C \Rightarrow y=e^{-1/2*ln(x^2-1)}*e^C \Rightarrow y=e^{(ln(x^2-1))^{-1/2}}*e^C \Rightarrow[/mm]
> > y= [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}*e^C[/mm]
>  >  
> > Wo ist also mein Fehler??
>  
> Pardon, ich hab mich vertan. Du hast recht.
>  
> FRED

Ja und wie geht's weiter??

Habe ja mein Problem eigentlich bei der inhomogenen Gleichung....


>  >  
> >
> >
> >
> > >  >  

> > > >
> > > > 2) Variation der Konstanten C:
>  >  >  >  [mm]y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} \otimes[/mm]
>  >  
> >  >  

> > > > [mm]y_p=C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Eingesetzt in [mm]\otimes[/mm] ergibt sich:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]C'(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)*\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}*C(x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
> > > > = [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
> > > >
> > > > Nun sollten sich doch die C(x) wegstreichen lassen?
>  >  >  >  Wo ist mein Fehler?
> > > >
> > > > Vielen Dank für eure Hilfe!!!
> > > >
> > > >
> > > >  

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DGL lösen: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 17:19 Mo 12.05.2014
Autor: JohannL

Hi babybel,
ich ignoriere mal den Versuch von frednochirgendtwas.
Ist schon sehr lange her, aber ich denke, dass ich das noch weiß.
Versuch es mal so:

Homogen:
[mm] y'=\bruch{xy-1}{1-x^2} [/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{xy-1}{1-x^2} [/mm]

Das umstellen so dass dann kommt:

[mm] \bruch{dy}{y}=\bruch{dx x}{2-x^2} [/mm]

Beide Seiten integrieren und auflösen nach y=>

Jetzt komme ich auf ein anderes Ergebnis als du (vielleicht habe ich einen Vorzeichenfehler übersehen, kann auch sein) =>

[mm] y_{h}=\bruch{1}{\wurzel{2-x^2}} e^C [/mm]
[mm] y_{h}=A \bruch{1}{\wurzel{2-x^2}} [/mm]

Inhomogene Lösung:
[mm] y_{p}=u(x) \bruch{1}{\wurzel{2-x^2}} [/mm]

[mm] u'(x)=\bruch{g(x)}{\bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}}=\bruch{\bruch{1}{x^2-1}}{\bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}} [/mm]

u(x)= etc..

Ich denke jetzt kommst Du weiter. Wenn Du u(x) hast einsetzen in [mm] y_{p} [/mm] bringt dir die partikuläre Lösung.
Dann: allgemeine Lösung ist die Addition von homogener Lösung und partikulärer Lösung:
also:
[mm] y=y_{h}+y_{p}=A \bruch{1}{\wurzel{2-x^2}}+ y_{p} [/mm]



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DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Mo 12.05.2014
Autor: Calli

Hallo !

Variation der Konstanten ergibt:

[mm] $y'=\frac{(x^2-1)^{1/2}\cdot c'-c\cdot x\,(x^2-1)^{-1/2}}{x^2-1}$ [/mm]

Eingesetzt in die geg. DGL und ausmultipliziert führt zu

[mm] $c'=\frac{\mathrm d c}{\mathrm d x}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ [/mm]

Ciao

Bezug
                                                
Bezug
DGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Mo 12.05.2014
Autor: Babybel73

Hallo Calli

Könntest du mir erklären wie du auf:

[mm] y'=\frac{(x^2-1)^{1/2}\cdot c'-c\cdot x\,(x^2-1)^{-1/2}}{x^2-1} [/mm]

gekommen bist?

Ich habe

[mm] y_p=C(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)\cdot{}\bruch{-2x}{(x^2-1)^2} [/mm]

erhalten.

Hatte dann aber das Problem dies in
[mm] y'+\bruch{x}{x^2-1}y=\bruch{1}{x^2-1} [/mm]
einzusetzen, da meiner Meinung nach sich die C(x) wegstreichen sollten.

[mm] C'(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)\cdot{}\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}+\bruch{x}{x^2-1}\cdot{}C(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} [/mm] =  [mm] \bruch{1}{x^2-1} [/mm]

Hier kam ich nicht mehr weiter...

Bin dankbar um jede Hilfe...



Bezug
                                                        
Bezug
DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:49 Mo 12.05.2014
Autor: Calli


> Hallo Calli
>  
> Könntest du mir erklären wie du auf:
>
> [mm]y'=\frac{(x^2-1)^{1/2}\cdot c'-c\cdot x\,(x^2-1)^{-1/2}}{x^2-1}[/mm]
>  
> gekommen bist?
>
> Ich habe
>
> [mm]y_p=C(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow y_p'=C'(x)\cdot{}\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}+C(x)\cdot{}\bruch{-2x}{(x^2-1)^2}[/mm]
>
> erhalten.

[notok]

[mm]y_p'=C'(x)\cdot (x^2-1)^{-1/2}+C(x)\cdot{}\left[(x^2-1)^{-1/2}\right]'[/mm]

[mm] $\left[(x^2-1)^{-1/2}\right]'=\cdots\;?$ [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
DGL lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Mo 12.05.2014
Autor: Babybel73

Hallo Calli

uiuiuiu....ja logisch, sorry...
[mm] \left[(x^2-1)^{-1/2}\right]' [/mm] = [mm] \bruch{-x}{(x^2-1)^{3/2}} [/mm]

Habe also nun erhalten:
[mm] C'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow C(x)=ln(\wurzel{x^2-1}+x) [/mm]

[mm] \Rightarrow y_p=ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} [/mm]

Also insgesamt [mm] y=y_h+y_p=\bruch{C}{\wurzel{x^2-1}}+ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{x^2-1} [/mm]

Stimmt das nun so???



Bezug
                                                                        
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DGL lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:58 Mo 12.05.2014
Autor: Martinius

Hallo Babybel73,


> Hallo Calli
>  
> uiuiuiu....ja logisch, sorry...
> [mm]\left[(x^2-1)^{-1/2}\right]'[/mm] = [mm]\bruch{-x}{(x^2-1)^{3/2}}[/mm]
>  
> Habe also nun erhalten:
> [mm]C'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} \Rightarrow C(x)=ln(\wurzel{x^2-1}+x)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow y_p=ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}}[/mm]
>  
> Also insgesamt
> [mm]y=y_h+y_p=\bruch{C}{\wurzel{x^2-1}}+ln(\wurzel{x^2-1}+x)*\bruch{1}{x^2-1}[/mm]
>  
> Stimmt das nun so???
>  
>  

Fast - bis auf einen Tippfehler. Im 2. Summanden fehlt im Nenner die Wurzel.


LG, Martinius

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