DGL lösen Wann welcher Ansatz < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 So 05.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Moin,
vielen Dank, dass Ihr reinschaut....
Ich lerne schon über 2 Wochen lang wie man "Gewöhnliche DGL" löst, aber teilweise hängt es, weil ich manchmal nicht weiss mit welchem Ansatz ich rangehen soll. Vlt. kann man mir hier ein paar Tipps geben?
Ich kenne bis jetzt folgende Ansätze:
-Laplace-Transformation
-Eulersche DGL mit dem Ansatz [mm] y=t^{\alpha}
[/mm]
- Bernoulli DGL mit dem Ansatz [mm] y=e^{\lambda*t}
[/mm]
- Trennung der Veränderlichen
-Substitution von [mm] u=\bruch{y}{t}
[/mm]
Joa das war alles.
Was mir bis jetzt aufgefallen ist:
- Bernoulli-DGL enthält nur die 1. Ableitung (ist das wirklich immer so?)
- Eulersche DGL mit dem Ansatz [mm] y=t^{\alpha} [/mm] ist laut Buch immer dann, wenn es ein [mm] t^n*y^n [/mm] gibt, was ich aber nicht direkt sehen kann in der Aufgabenstellung, weil man die Terme ja immer umstellen kann... enthält eine Euler-DGL immer max. die 2. Ableitung?
z.B. habe ich gerade folgenden Term mit dem Euler-Ansatz gelöst:
[mm] y''-\bruch{2y'}{t}+\bruch{2y}{t^2}=6t^2 [/mm] kam, aber nicht gleich darauf, dass ich diesen Ansatz nehmen muss
Kann mir bitte jemand erklären, wie ich weiss, wann ich welchen Ansatz zu wählen habe und nicht nach Ausschlussverfahren (durch probieren) das Ganze in der Prüfung machen muss...
Vielen Dank.
Gruß
M-Ti
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Hallo M-Ti,
> Moin,
>
> vielen Dank, dass Ihr reinschaut....
>
> Ich lerne schon über 2 Wochen lang wie man "Gewöhnliche
> DGL" löst, aber teilweise hängt es, weil ich manchmal
> nicht weiss mit welchem Ansatz ich rangehen soll. Vlt. kann
> man mir hier ein paar Tipps geben?
>
> Ich kenne bis jetzt folgende Ansätze:
> -Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation ist eine Methode um DGLn zu lösen.
Wenn die Aufgabe mit Hilfe der Laplace-Transformation zu lösen ist,
dann steht das auch in der Aufgabe.
> -Eulersche DGL mit dem Ansatz [mm]y=t^{\alpha}[/mm]
> - Bernoulli DGL mit dem Ansatz [mm]y=e^{\lambda*t}[/mm]
Der Ansatz lässt auf lineare DGL n. ter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten schließen.
Eine Bernoulli-DGL ist eine DGL der Form
[mm]y'+g\left(x\right)*y+h\left(x\right)*y^{\alpha}=0[/mm]
Hier wird der Ansatz [mm]y=z^{\bruch{1}{1-\alpha}}[/mm] gewählt.
> - Trennung der Veränderlichen
Dies kannst Du anwenden, wenn sich die DGL
[mm]y'=f\left(t,y\right)[/mm]
in der Form
[mm]y'=g\left(x\right)*h\left(y\right)[/mm]
schreiben läßt.
> -Substitution von [mm]u=\bruch{y}{t}[/mm]
>
> Joa das war alles.
> Was mir bis jetzt aufgefallen ist:
> - Bernoulli-DGL enthält nur die 1. Ableitung (ist das
> wirklich immer so?)
> - Eulersche DGL mit dem Ansatz [mm]y=t^{\alpha}[/mm] ist laut Buch
> immer dann, wenn es ein [mm]t^n*y^n[/mm] gibt, was ich aber nicht
> direkt sehen kann in der Aufgabenstellung, weil man die
> Terme ja immer umstellen kann... enthält eine Euler-DGL
> immer max. die 2. Ableitung?
Nein, die höchste Ableitung ist bei einer
Euler-DGL nicht beschränkt.
Die Euler-DGL ist eine DGL der Bauart
[mm]a_{n}*t^{n}*y^{\left(n\right)}+a_{n-1}*t^{n-1}*y^{\left(n-1\right)}+ \ ... \ + a_{1}*t*y'+a_{0}*y=0[/mm]
,wobei die [mm]a_{k}, \ k=0, \ ... \, \ n[/mm] konstant sind.
>
> z.B. habe ich gerade folgenden Term mit dem Euler-Ansatz
> gelöst:
> [mm]y''-\bruch{2y'}{t}+\bruch{2y}{t^2}=6t^2[/mm] kam, aber nicht
> gleich darauf, dass ich diesen Ansatz nehmen muss
>
>
> Kann mir bitte jemand erklären, wie ich weiss, wann ich
> welchen Ansatz zu wählen habe und nicht nach
> Ausschlussverfahren (durch probieren) das Ganze in der
> Prüfung machen muss...
Der Ansatz [mm]y=e^{\lambda*t}[/mm] wird gewählt, wenn es sich
um eine DGL der Bauart
[mm]a_{n}*y^{\left(n\right)}+a_{n-1}*y^{\left(n-1\right)}+ \ ... \ + a_{1}*y'+a_{0}*y=0[/mm]
,wobei die [mm]a_{k}, \ k=0, \ ... \, \ n[/mm] konstant sind.
>
> Vielen Dank.
> Gruß
> M-Ti
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mo 06.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Hallo Mathepower,
vielen Dank, dass du mir wieder hilfst.
Was ist das [mm] a_{n}, [/mm] bzw [mm] a_{n-1} [/mm] .... bei der Euler DGL bzw. dem $ [mm] y=e^{\lambda\cdot{}t} [/mm] $ Ansatz? Kannst du dir vlt. einen Term dazu ausdenken, woran ich das sehe?
Vielen Dank und Gruß
M-Ti
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Hallo M-Ti,
> Hallo Mathepower,
>
> vielen Dank, dass du mir wieder hilfst.
>
> Was ist das [mm]a_{n},[/mm] bzw [mm]a_{n-1}[/mm] .... bei der Euler DGL bzw.
> dem [mm]y=e^{\lambda\cdot{}t}[/mm] Ansatz? Kannst du dir vlt. einen
> Term dazu ausdenken, woran ich das sehe?
1. Beispiel (lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten)
[mm]5*y''+3*y'+7*y=0[/mm]
Damit ist [mm]a_{2}=5, \ a_{1}=3, \ a_{0}=7[/mm]
2. Beispiel: (Euler DGL)
[mm]3*x^{2}*y''+15*x*y'-36*y=0[/mm]
Damit ist [mm]a_{2}=3, \ a_{1}=15, \ a_{0}=-36[/mm]
>
> Vielen Dank und Gruß
> M-Ti
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Mi 08.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
super, vielen Dank. Wenn ich dich nicht hätte.... :-D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 08.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Haben sich doch noch ein Paar Fragen ergeben...
1. Muss eine Euler-DGL mindestens die 2. Ableitung enthalten? Wenn es auch eine Euler-DGL mit max. der 1. Ableitung gibt, dann weiß ich nicht wie ich die lösen soll.
Ich habe die Aufgabe [mm] y'+\bruch{y}{t}=t^2 [/mm] einmal gelöst indem ich [mm] \bruch{y}{t}=u [/mm] substitutiert habe und dann nochmal mit dem [mm] y=t^{\alpha} [/mm] Ansatz für eine Euler-DGL versucht. Mit dem Substitutionsansatz hatte ich keine Probleme (vlt. kannst du aber bitte trotzdem mal drüber gucken ob was falsch ist, ich habe extra jede Zeile nummeriert) aber wenn eine DGL mit max. der 1. Ableitung auch eine Euler-DGL ist (die Bauart stimmt m.E. überein) dann kann ich es mit dem entsprechenden Ansatz nicht lösen:
[mm] y'+\bruch{y}{t}=t^2
[/mm]
[mm] y=t^{\alpha} y'=\alpha*t^{\alpha-1} [/mm]
--> [mm] t^{\alpha}*[\alpha+1]=0
[/mm]
--> [mm] \alpha=-1
[/mm]
Fundamentalsystem: y1(t)=C1*t^(-1)
Jetzt kommt die Rechnung mit der Inversen (jedenfalls habe ich das gemacht, wenn ich 2 Ableitungen hatte)
[mm] \vektor{1/t \\ -1*t^(-2)}*\vektor{C1\\ ??}=\vektor{0 \\ t^2}
[/mm]
Joa und da weiss ich nicht wie ich das ganze aufstelle...
Vielen Dank.
Besten Gruß
M-Ti
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo M-Ti,
> Haben sich doch noch ein Paar Fragen ergeben...
>
> 1. Muss eine Euler-DGL mindestens die 2. Ableitung
> enthalten? Wenn es auch eine Euler-DGL mit max. der 1.
> Ableitung gibt, dann weiß ich nicht wie ich die lösen
> soll.
>
> Ich habe die Aufgabe [mm]y'+\bruch{y}{t}=t^2[/mm] einmal gelöst
> indem ich [mm]\bruch{y}{t}=u[/mm] substitutiert habe und dann
> nochmal mit dem [mm]y=t^{\alpha}[/mm] Ansatz für eine Euler-DGL
> versucht. Mit dem Substitutionsansatz hatte ich keine
> Probleme (vlt. kannst du aber bitte trotzdem mal drüber
> gucken ob was falsch ist, ich habe extra jede Zeile
> nummeriert) aber wenn eine DGL mit max. der 1. Ableitung
> auch eine Euler-DGL ist (die Bauart stimmt m.E. überein)
> dann kann ich es mit dem entsprechenden Ansatz nicht
> lösen:
> [mm]y'+\bruch{y}{t}=t^2[/mm]
> [mm]y=t^{\alpha} y'=\alpha*t^{\alpha-1}[/mm]
> --> [mm]t^{\alpha}*[\alpha+1]=0[/mm]
> --> [mm]\alpha=-1[/mm]
>
> Fundamentalsystem: y1(t)=C1*t^(-1)
>
> Jetzt kommt die Rechnung mit der Inversen (jedenfalls habe
> ich das gemacht, wenn ich 2 Ableitungen hatte)
>
> [mm]\vektor{1/t \\ -1*t^(-2)}*\vektor{C1\\ ??}=\vektor{0 \\ t^2}[/mm]
>
> Joa und da weiss ich nicht wie ich das ganze aufstelle...
Die Eulersche DGL ist eine homogene DGL.
Daher muss die obige DGL lauten:
[mm]y'+\bruch{y}{t}=\blue{0}[/mm]
Und jetzt kannst Du mit dem Ansatz [mm]y=t^{\alpha}[/mm] ansetzen.
>
> Vielen Dank.
>
> Besten Gruß
> M-Ti
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mi 08.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Also: (Ergebnis müsste m.E. richtig sein, da es mit der Version durch Substitution übereinstimmt)
1. homogene DGL $ [mm] y'+\bruch{y}{t}=\blue{0} [/mm] $
mit [mm] y=t^{\alpha} [/mm] und [mm] y'=\alpha*t^{\alpha-1}
[/mm]
Einsetzen in homogene DGL
--> [mm] t^{\alpha}[\alpha+1]=0 [/mm] ---> alpha=-1
Fundamentalsystem: y(t)=C1*t^(-1)
Variation der Konstanten für inhomogene DGL:
yp(t)=C1(t)*t^(-1)
yp'(t)=C1'(t)*t^(-1)-C1(t)*t^(-2)
Einsetzen in inhomogene DGL:
[mm] C1'(t)*t^{-1}-C1(t)*t^{-2}+C1(t)*t^{-2}=t^2
[/mm]
--> [mm] C1'(t)*t^{-1}=t^2
[/mm]
--> [mm] C1(t)=\bruch{1}{4}t^4
[/mm]
--> [mm] yp(t)=\bruch{1}{4}t^4 *t^{-1}=\bruch{1}{4}t^3
[/mm]
[mm] y(t)=yh+yp=\bruch{1}{4}t^3+C1*t^{-1}
[/mm]
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Hallo M-Ti,
> Also: (Ergebnis müsste m.E. richtig sein, da es mit der
> Version durch Substitution übereinstimmt)
>
> 1. homogene DGL [mm]y'+\bruch{y}{t}=\blue{0}[/mm]
>
> mit [mm]y=t^{\alpha}[/mm] und [mm]y'=\alpha*t^{\alpha-1}[/mm]
> Einsetzen in homogene DGL
> --> [mm]t^{\alpha}[\alpha+1]=0[/mm] ---> alpha=-1
>
> Fundamentalsystem: y(t)=C1*t^(-1)
>
> Variation der Konstanten für inhomogene DGL:
> yp(t)=C1(t)*t^(-1)
> yp'(t)=C1'(t)*t^(-1)-C1(t)*t^(-2)
>
> Einsetzen in inhomogene DGL:
> [mm]C1'(t)*t^{-1}-C1(t)*t^{-2}+C1(t)*t^{-2}=t^2[/mm]
>
> --> [mm]C1'(t)*t^{-1}=t^2[/mm]
> --> [mm]C1(t)=\bruch{1}{4}t^4[/mm]
>
> --> [mm]yp(t)=\bruch{1}{4}t^4 *t^{-1}=\bruch{1}{4}t^3[/mm]
>
> [mm]y(t)=yh+yp=\bruch{1}{4}t^3+C1*t^{-1}[/mm]
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Do 09.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Hallo Mathepower,
kannst du mir bitte noch bei folgender Aufgabe helfen:
[mm] y''+\bruch{2y'}{t}+\bruch{2y}{t^2}=t [/mm]
Wobei inder Aufgabe noch steht, dass die Funktionen y1(t)=t und [mm] y2(t)=t^2 [/mm] linear unabhängige Lösungen der homogenen Differentialglleichung sind und ich mittels Variation der Konstanten eine partikuläre Lösung finden soll.
Die Homogene DGL lässt sich mit dem [mm] y=t^{\alpha} [/mm] Asantz lösen. Das habe ich gemacht und komme auf ein komplexes Ergebnis und nicht wie in der Aufgabe gegeben auf y1(t)=t und [mm] y2(t)=t^2
[/mm]
[mm] t^{\alpha}[\alpha*(\alpha -1)+2*(\alpha)+2]=0
[/mm]
--> [mm] (\alpha)^2+(\alpha)+2=0 [/mm] ---> [mm] \alpha_{1}=\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}
[/mm]
[mm] \alpha_{2}=\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2}
[/mm]
Mein Fundamentalsystem ist also:
[mm] y1(t)=C1*t^{\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}} [/mm] und [mm] y2(t)=C2*t^{\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2}}
[/mm]
Nun habe ich versucht die inhomogene Lösung zu finden mit:
[mm] \vektor{C1'(t) \\ C2'(t)}* \pmat{ t^(\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}) & t^(\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2}) \\(\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}) * t^(\bruch{-3+\wurzel{7}*i}{2}) &(\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2})* t^(\bruch{-3-\wurzel{7}*i}{2})} =\vektor{0\\ t}
[/mm]
und dann habe ich über
[mm] \vektor{C1'(t) \\ C2'(t)}=\bruch{1}{det (A)}*\pmat{ d & -b \\ -c & a }*\vektor{0 \\ t}
[/mm]
C1 und C2 rauszubekommen, aber das ist nicht mehr menschlich.
Wie hätte ich richtig vorgehen müssen?
UND: Wenn die beiden in der Aufgabe gegebenen Lösungen der homogenen DGL nicht gegeben wären, wäre mein Rechenweg doch richtig gewesen, oder?
Vielen Dank und Gruß
M-Ti
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathepower,
>
> kannst du mir bitte noch bei folgender Aufgabe helfen:
>
> [mm]y''+\bruch{2y'}{t}+\bruch{2y}{t^2}=t[/mm]
> Wobei inder Aufgabe noch steht, dass die Funktionen y1(t)=t
> und [mm]y2(t)=t^2[/mm] linear unabhängige Lösungen der homogenen
> Differentialglleichung sind
Rechne mal nach und Du wirst sehen, dass das nicht stimmt !
Wie lautet die DGL wirklich ?
FRED
> und ich mittels Variation der
> Konstanten eine partikuläre Lösung finden soll.
>
> Die Homogene DGL lässt sich mit dem [mm]y=t^{\alpha}[/mm] Asantz
> lösen. Das habe ich gemacht und komme auf ein komplexes
> Ergebnis und nicht wie in der Aufgabe gegeben auf y1(t)=t
> und [mm]y2(t)=t^2[/mm]
>
> [mm]t^{\alpha}[\alpha*(\alpha -1)+2*(\alpha)+2]=0[/mm]
> -->
> [mm](\alpha)^2+(\alpha)+2=0[/mm] --->
> [mm]\alpha_{1}=\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}[/mm]
> [mm]\alpha_{2}=\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2}[/mm]
>
> Mein Fundamentalsystem ist also:
> [mm]y1(t)=C1*t^{\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}}[/mm] und
> [mm]y2(t)=C2*t^{\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2}}[/mm]
>
> Nun habe ich versucht die inhomogene Lösung zu finden
> mit:
>
> [mm]\vektor{C1'(t) \\ C2'(t)}* \pmat{ t^(\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}) & t^(\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2}) \\(\bruch{-1+\wurzel{7}*i}{2}) * t^(\bruch{-3+\wurzel{7}*i}{2}) &(\bruch{-1-\wurzel{7}*i}{2})* t^(\bruch{-3-\wurzel{7}*i}{2})} =\vektor{0\\ t}[/mm]
>
> und dann habe ich über
>
>
> [mm]\vektor{C1'(t) \\ C2'(t)}=\bruch{1}{det (A)}*\pmat{ d & -b \\ -c & a }*\vektor{0 \\ t}[/mm]
>
> C1 und C2 rauszubekommen, aber das ist nicht mehr
> menschlich.
>
>
>
> Wie hätte ich richtig vorgehen müssen?
>
> UND: Wenn die beiden in der Aufgabe gegebenen Lösungen der
> homogenen DGL nicht gegeben wären, wäre mein Rechenweg
> doch richtig gewesen, oder?
>
> Vielen Dank und Gruß
> M-Ti
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 09.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
Die DGL ist aus der Aufgabenstellung (siehe Anhang). Ich hätte ja laut der Aufgabe über den Ansatz zur Lösung der homogenen DGL auf y1(t)=C1*t und [mm] y2(t)=C2*t^2 [/mm] kommen müssen und dann über die Inverse C1'(t) und C2'(t) ausrechnen müssen, anschließend integrieren.
Dann muss wohl die Aufgabenstellung falsch sein? Aber meine Rechnung aus dem vorherigen Post ist bis dort wo ich aufgehört habe doch richtig, oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo M-Ti,
> Die DGL ist aus der Aufgabenstellung (siehe Anhang). Ich
> hätte ja laut der Aufgabe über den Ansatz zur Lösung der
> homogenen DGL auf y1(t)=C1*t und [mm]y2(t)=C2*t^2[/mm] kommen
> müssen und dann über die Inverse C1'(t) und C2'(t)
> ausrechnen müssen, anschließend integrieren.
>
> Dann muss wohl die Aufgabenstellung falsch sein? Aber meine
In der Aufgabe hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Die DGL muß lauten:
[mm]y''\blue{-}\bruch{2}{t}*y'+\bruch{2}{t^{2}}*y=t[/mm]
> Rechnung aus dem vorherigen Post ist bis dort wo ich
> aufgehört habe doch richtig, oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Do 09.12.2010 | | Autor: | M-Ti |
super, Danke. Das beruhigt mich :-D
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