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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mo 10.11.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Betrachte zur Lösung der DGL y'=f(y/x) die Substitution u(x)=y(x)/x. Wie sieht die entstehende DGL für u aus? Überlegen sie sich, dass sich die Lösungen der ursprünglichen und der substituierten DGL eineindeutig entsprechen. |
Hallo,
könnte mir bitte jemand erklären, was ich genau bei obiger Aufgabe zeigen soll?
Es ist doch dann u'(x)=1/x(f(u)-u)
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> Betrachte zur Lösung der DGL y'=f(y/x) die Substitution
> u(x)=y(x)/x. Wie sieht die entstehende DGL für u aus?
> Überlegen sie sich, dass sich die Lösungen der
> ursprünglichen und der substituierten DGL eineindeutig
> entsprechen.
> Hallo,
>
> könnte mir bitte jemand erklären, was ich genau bei
> obiger Aufgabe zeigen soll?
> Es ist doch dann u'(x)=1/x(f(u)-u)
Das Ergebnis ist richtig; allerdings sollte man es noch
klar lesbar notieren:
$\ u'(x)\ =\ [mm] \frac{1}{x}\,*\,(f(u)-u)$
[/mm]
Wenn du sagst: "Es ist doch dann ..... " , dann hast
du doch wohl eine Ahnung, wie man dies auch zeigen
kann - oder etwa doch nicht ?
In letzterem Fall: Schreib dir doch mal die interes-
sierenden Ableitungen auf, am besten vielleicht in
der Leibnizschen Form, wo man anstelle von u'(x)
etwa $\ [mm] \frac{d\,u(x)}{d\,x}$ [/mm] schreibt.
Auf dem Weg zur Lösung hat man es z.B. auch mit
der Quotientenregel zu tun.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 10.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich habe es so gemacht:
y (x)=x*u (x). Also y'(x)=u (x)+xu'(x) und damit u+xu'(x)=f (u). Das nach u' auflösen und dann erhalte ich die angegebene Lösung. Wie beweise ich nun dass sich die Loesungen entsprechen?
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> Ich habe es so gemacht:
> y (x)=x*u (x). Also y'(x)=u (x)+xu'(x) und damit
> u+xu'(x)=f (u). Das nach u' auflösen und dann erhalte ich
> die angegebene Lösung. Wie beweise ich nun dass sich die
> Loesungen entsprechen?
Hallo rollroll,
ich kann jetzt nicht näher darauf eingehen, bin aber so
ziemlich sicher, dass jemand anderes einspringt ...
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:12 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe es so gemacht:
> y (x)=x*u (x). Also y'(x)=u (x)+xu'(x) und damit
> u+xu'(x)=f (u). Das nach u' auflösen und dann erhalte ich
> die angegebene Lösung. Wie beweise ich nun dass sich die
> Loesungen entsprechen?
Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm] welche 0 nicht enthält und y:I [mm] \to \IR [/mm] ein differenzierbare Funktion. Damit setze u(x):=y(x)/x.
Zeige:
y ist eine Lösung von y'=f(y/x) auf I
[mm] \gdw [/mm]
u ist eine Lösung von u'=1/x(f(u)-u) auf I.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Di 11.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Zur ersten Richtung:
Es ist ja
[mm] u=\bruch{y(x)}{x}, [/mm] d.h. [mm] u'(x)=\bruch{y'(x)x-y(x)}{x^2} [/mm] = 1/x [mm] (\bruch{y'(x)x-y(x)}{x} [/mm] )
Irgendwie sehe ich gerade den Wald vor lauter Bäumen nicht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:32 Mi 12.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ist dieser Ansatz richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ist dieser Ansatz richtig?
Siehe
https://matheraum.de/read?i=1041162
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Es gelte also y'=f(y/x). Weiter sei u:=y/x
Dann ist y=xu, also
(*) f(u)=y'=u+xu'
Löse (*) nach u' auf und fertig ist der Schuh.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 Mi 12.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Und bei der Rueckrichtung?
Ich gehe dort ja von u'=1/x*(f (u)-u) aus und setze u=y/x. Dann leite ich u ab und erhalte [mm] u'=\bruch{y'x-y}{x^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mi 12.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Ein kleines "Dankeschön" ist ab und zu angebracht.
> Und bei der Rueckrichtung?
> Ich gehe dort ja von u'=1/x*(f (u)-u) aus und setze u=y/x.
> Dann leite ich u ab und erhalte [mm]u'=\bruch{y'x-y}{x^2}[/mm]
Das ist mühsam ! Aus y=xu folgt
y'=u+xu'=u+x*(1/x*(f (u)-u))+xu=u+f(u)-u=f(u)=f(y/x).
Fertig ist der 2. Schuh.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Mi 12.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Super, vielen Dank! !
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