DGL mit einer var < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Sa 27.02.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
warum kann ich bei der DGL
[mm] y'=0.5*y-0.5*y^3
[/mm]
nicht einfach direkt integrieren ?
Bzw. wie kann ich sie lösen ohen Bernulli anzuwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Sa 27.02.2010 | | Autor: | uliweil |
Hallo quade521,
was meinst Du mit "direkt integrieren"?
Ich denke, die DGl löst man mit Trennung der Variablen.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 So 28.02.2010 | | Autor: | quade521 |
ja aber wie kann ich hier die variablen trennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:06 So 28.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo quade521,
Trennung der Variablen auch hier:
$$ [mm] \bruch{dy}{0.5 y - 0.5 y^3} [/mm] = dx $$
Und dann die Integrale lösen.
Üben, üben, üben, würde ich sagen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 28.02.2010 | | Autor: | quade521 |
Hallo,
nur wenn ich nun integriere komem ich auf
2·LN(y) - [mm] LN(y^2 [/mm] - 1) = C dann e hoch den teerm
[mm] \bruch{y^2}{y^2-1}= [/mm] C und dann nach y auflösen
[mm] y=\wurzel{\bruch{c}{c-1}}
[/mm]
das stimtm aber nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 So 28.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo quade521,
Für die linke Seite bekomme ich mit Hilfe des Bronstein
$$ [mm] \ln |\bruch{y^2}{1-y^2}| [/mm] $$ raus und die Integration der rechten Seite ergibt keine Konstante (wie soll das denn gehen?), sondern ein ganz einfaches
$$ [mm] \int [/mm] 1 [mm] \, [/mm] dx = x [mm] \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 28.02.2010 | | Autor: | quade521 |
hallo,
also das integral muss stimmen ich hab es in wolfram alpha eingegeben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 So 28.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
was soll wie stimmen?
Gruß,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 So 28.02.2010 | | Autor: | quade521 |
das Integral auf der linken Seite
y/...
das müsste stimmen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 28.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
unsere Ergebnisse sind nun gleich. Beim Logarithmus dürfen wir die Betragsfunktion nicht vergessen und ich hatte einen Fehler beim Rausziehen des Faktors 1/2 im Nenner gemacht, das gibt für den Gesamtbruch natürlich einen Faktor von 2.
Formen wir mal um:
$$ 2 [mm] \int \bruch{1}{y(1-y^2)} \, [/mm] dy = [mm] \ln |\bruch{y^2}{1-y^2}|= \ln |\bruch{y^2}{y^2-1}| [/mm] $$
Über den Zähler der Stammfunktion brauchen wir uns keine Sorgen zu machen, der ist immer positiv,durch den Betrag im Nenner ist es unwichtig, wie herum die Terme stehen, denn [mm] |a-b| = |b-a| [/mm].
Dahin kommen wir aber auch mit Deiner Schreibweise:
$$ 2 [mm] \ln|y| [/mm] - [mm] \ln|y^2-1| [/mm] = ln [mm] |\bruch{y^2}{y^2-1}| [/mm] $$
Uff, beides stimmt überein 
Viele Grüße,
Infinit
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