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| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen nach geeigneter Substitution mit Hilfe der Trennung der Variablen
2y' + y² + [mm] \bruch{1}{x²} [/mm] = 0
y' = [mm] \bruch{x -y - 1}{x + y + 1} [/mm] |
Hallo zusammen,
generell komm ich mit den DGLs eigentlich ganz gut klar, aber jetzt sollen wir hier substituieren und ich hab ka, welche substitution hier sinnvoll is. die erste is ja auch ohne substitution gut lösbar. zumindest soweit ichs gerechnet hab.
hoffe, dass ihr mir nen hinweis geben könnt, mit dem ich dann weiter komme.
mfg Zwetschke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Bei der zweiten kannst du den Nenner durch z substituieren, also:
z = x + y + 1 (*)
Damit ist z' = 1 + y', also y' = z' - 1 (linke Seite ersetzen).
Im Zähler des Bruchs ersetzt du y noch durch das aufgelöste (*), kannst dann nach den Variablen z und x trennen, integrieren und fertig.
Wenn du die erste schon ohne Substitution gelöst hast, würde ich da auch nicht mehr unbedingt nach forschen...
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Hallo Zwetschke123,
> Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen nach
> geeigneter Substitution mit Hilfe der Trennung der
> Variablen
>
> 2y' + y² + [mm]\bruch{1}{x²}[/mm] = 0
>
> y' = [mm]\bruch{x -y - 1}{x + y + 1}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> generell komm ich mit den DGLs eigentlich ganz gut klar,
> aber jetzt sollen wir hier substituieren und ich hab ka,
> welche substitution hier sinnvoll is. die erste is ja auch
> ohne substitution gut lösbar. zumindest soweit ichs
> gerechnet hab.
>
> hoffe, dass ihr mir nen hinweis geben könnt, mit dem ich
> dann weiter komme.
Die DGL
[mm]2y' + y² + \bruch{1}{x²} = 0[/mm]
ruft geradezu nach der Substitution [mm]y\left(x\right)=\bruch{u\left(x\right)}{x}
[/mm]
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> mfg Zwetschke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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danke für eure tipps! habs mit denen probiert und jetzt bin ich auch zu nem ergebnis gekommen.
1) [mm] y=\bruch{z}{x} \Rightarrow [/mm] Z=yx
z' = y'x + y [mm] \Rightarrow [/mm] y' = [mm] \bruch{z'}{x}-\bruch{z}{x²}
[/mm]
2z' + [mm] \bruch{1}{x}(-2z+z²+1)=0
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=-\bruch{1}{x}(z-1)²
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(z-1)²} dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{z-1}=-lnx +k_{1}
[/mm]
[mm] z=-\bruch{1}{lnx}+1+k
[/mm]
[mm] y=\bruch{-\bruch{1}{lnx}+1+k}{x}
[/mm]
2)
z=x+y+1 ; z'=1+y ; y'=z'- 1 ; y=z-x-1
[mm] z'-1=\bruch{x-z+x+1-1}{z}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{dz}{dx}=\bruch{2x}{z}
[/mm]
nach integrieren
[mm] \bruch{1}{2}z²=x²+k_{1}
[/mm]
[mm] z=\wurzel{2}x+k
[/mm]
[mm] x+y+1=\wurzel{2}x [/mm] + k
[mm] y=x(\wurzel{2}-1)-1 [/mm] +k
kann ich hier am ende die letzte -1 nich einfach mit ins k packen? k is ja ne konstante, die ja auch einen größer sein kann.
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Hallo Zwetschke123,
> danke für eure tipps! habs mit denen probiert und jetzt bin
> ich auch zu nem ergebnis gekommen.
>
> 1) [mm]y=\bruch{z}{x} \Rightarrow[/mm] Z=yx
> z' = y'x + y [mm]\Rightarrow[/mm] y' = [mm]\bruch{z'}{x}-\bruch{z}{x²}[/mm]
>
> 2z' + [mm]\bruch{1}{x}(-2z+z²+1)=0[/mm]
> [mm]\bruch{dz}{dx}=-\bruch{1}{x}(z-1)²[/mm]
Hier muß es doch so heißen:
[mm]\red{2}*\bruch{dz}{dx}=-\bruch{1}{x}(z-1)²[/mm]
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(z-1)²} dz}=-\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{z-1}=-lnx +k_{1}[/mm]
Auch hier muß es heißen:
[mm]\red{-}\bruch{1}{z-1}=-lnx +k_{1}[/mm]
> [mm]z=-\bruch{1}{lnx}+1+k[/mm]
Hier muß es heißen:
[mm]z=1+\bruch{1}{\ln\left(x\right)+k_{1}}[/mm]
>
>
> [mm]y=\bruch{-\bruch{1}{lnx}+1+k}{x}[/mm]
>
>
> 2)
> z=x+y+1 ; z'=1+y ; y'=z'- 1 ; y=z-x-1
> [mm]z'-1=\bruch{x-z+x+1-1}{z}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{dz}{dx}=\bruch{2x}{z}[/mm]
> nach integrieren
> [mm]\bruch{1}{2}z²=x²+k_{1}[/mm]
> [mm]z=\wurzel{2}x+k[/mm]
Die Wurzel mußt Du schon über den ganzen Ausdruck
auf der rechten Seite schreiben:
[mm]z=\wurzel{2x^{2}+k_{1}}[/mm]
Und dann gibt es 2 Lösungen:
[mm]z=\pm \wurzel{2x^{2}+k_{1}}[/mm]
> [mm]x+y+1=\wurzel{2}x[/mm] + k
> [mm]y=x(\wurzel{2}-1)-1[/mm] +k
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> kann ich hier am ende die letzte -1 nich einfach mit ins k
> packen? k is ja ne konstante, die ja auch einen größer sein
> kann.
>
>
Gruß
MathePower
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