DGL mit x-Quadrat < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 10.05.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo Leute,
geg. sei folgende DGL:
[mm]x'=ax - bx^2[/mm]
Hier soll man die Lösung zum Anfangswert [mm]x(0)=x_0[/mm] finden.
Ansatz:
[mm]\bruch{dx}{ax-bx^2} = 1 dt[/mm]
Wenn ich das integriere, bekomme ich:
[mm]\bruch{1}{a} \ln \bruch{2bx}{2bx-2a}=t[/mm]
Wie bekomme ich hier das x(t) raus, und wie komme ich zu [mm] x_0 [/mm] ?
Hinweis: Die Lösung der DGL ist (lt. Angabe):
[mm]x(t) := \bruch{a*x_0}{b*x_0 + (a - b*x_0)*e^{-at}}[/mm]
Danke und Gruss,
Crispy
|
|
| |
|
Hallo Crispy,
> Wie bekomme ich hier das x(t) raus, und wie komme ich zu
> [mm]x_0[/mm] ?
Alles reines Umformen.
Für die Lösung ergibt sich:
[mm]\begin{array}{l}
\frac{1}{a}\;\ln \;\frac{{2bx}}{{2bx\; - \;2a}}\; = \;t\; + \;C \\
\Leftrightarrow \;\ln \;\frac{{2bx}}{{2bx\; - \;2a}}\; = \;a\;\left( {t\; + \;C} \right)\; \\
\Leftrightarrow \;\frac{{2bx}}{{2bx\; - \;2a}}\; = \;C_1 \;e^{at} \\
\Leftrightarrow \;2bx\; = \;\left( {2bx\; - \;2a} \right)\;C_1 \;e^{at} \\
\Leftrightarrow \;2bx\;(\;C_1 \;e^{at} \; - \;1)\; = \;2a\;C_1 \;e^{at} \\
\Rightarrow \;x(t)\; = \;\frac{{a\;C_1 \;e^{at} }}{{b\;\left( {C_1 \;e^{at} \; - \;1} \right)}}\; = \;\frac{{a\;C_1 }}{{b\;\left( {C_1 \; - \;e^{ - at} } \right)}} \\
\end{array}[/mm]
Setzt man auch noch die Anfangsbedingung ein, so folgt:
[mm]\begin{array}{l}
x(0)\; = \;x_0 \\
\Rightarrow \;C_1 \; = \;\frac{{bx_0 }}{{bx_0 \; - \;a}} \\
\Rightarrow \;x(t)\; = \;\frac{{a\;C_1 \;e^{at} }}{{b\;\left( {C_1 \;e^{at} \; - \;1} \right)}}\; = \;\frac{{a\;\frac{{bx_0 }}{{bx_0 \; - \;a}}\;e^{at} }}{{b\;\left( {\frac{{bx_0 }}{{bx_0 \; - \;a}}\;e^{at} \; - \;1} \right)}}\; \\
= \;\frac{{a\;x_0 \;e^{at} }}{{bx_0 \;e^{at} \; - \;\left( {bx_0 \; - \;a} \right)}}\; = \;\frac{{a\;x_0 }}{{bx_0 \; + \;\left( {a\; - \;bx_0 } \right)\;e^{ - at} }} \\
\end{array}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
