DGL ohne x < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Do 19.01.2017 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Löse die DGL
[mm] y'=1-y^2 [/mm] |
Hallo,
ich verzweifle an obiger DGL. Habe bisher immer nur lineare DGL lösen müssen. Mehr hatten wir bisher auch noch nicht gemacht. Aber mit diesem [mm] y^2 [/mm] habe ich keine Ahnung wie ich vorgehen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Do 19.01.2017 | | Autor: | kai1992 |
Probiere es mal mit Trennung der Variablen und dann einer Partialbruchzerlegung von 1/(1-y²). Wenn du dann nicht weiter kommst, helfe ich gern ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 19.01.2017 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Trikolon!
Trennung der Variablen:
[mm] $y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-y^2\quad\rightsquigarrow\quad \int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}=\int\mathrm{d}x$.
[/mm]
Der Tangens Hyperbolicus lässt grüßen... 
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Fr 20.01.2017 | | Autor: | Trikolon |
Ach ja, stimmt! Danke für die schnelle Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Fr 20.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Löse die DGL
> [mm]y'=1-y^2[/mm]
> Hallo,
>
> ich verzweifle an obiger DGL. Habe bisher immer nur lineare
> DGL lösen müssen. Mehr hatten wir bisher auch noch nicht
> gemacht. Aber mit diesem [mm]y^2[/mm] habe ich keine Ahnung wie ich
> vorgehen soll...
Wenn man, wie von der Acht vorgeschlagen, die obig DGL so löst:
$ [mm] y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-y^2\quad\rightsquigarrow\quad \int\frac{\mathrm{d}y}{1-y^2}=\int\mathrm{d}x [/mm] $,
so führt dies auf $y(x)= [mm] \tanh(x+c)$ [/mm] mit $c [mm] \in \IR$.
[/mm]
Das sind aber nicht alle Lösungen dieser DGL ! Welche fehlen ?
Bingo: $y(x)=1$ und $y(x)=-1$.
Warum haben wir diese Lösungen beim Verfahren "Trennung der Variablen" nicht erwischt ?
Darum: wir haben durch [mm] $1-y^2$ [/mm] geteilt. Diese Term ist =0 für $y= [mm] \pm [/mm] 1$
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