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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution [mm] z(x)=u^{-4}(x) [/mm] alle Lösungen der Differentialgleichung
[mm] u'-u=xu^{5} [/mm] |
Hallo ihr Lieben!
Die Gleichung sieht so einfach aus, aber ich krieg es einfach nicht hin.
Hab schon versucht, das [mm] u^{5} [/mm] in [mm] u*u^{4} [/mm] zu zerlegen, damit ich die Substitution anwenden kann. Aber irgendwie hab ich dann immer 3 Variablen drin, nämlich y,z und u.
Was mach ich denn bloß falsch? Mir ist der Sinn dieser Substitution nicht wirklich klar....
liebe Grüße
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Hallo Franzie,
> Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitution [mm]z(x)=u^{-4}(x)[/mm]
> alle Lösungen der Differentialgleichung
> [mm]u'-u=xu^{5}[/mm]
> Hallo ihr Lieben!
>
> Die Gleichung sieht so einfach aus, aber ich krieg es
> einfach nicht hin.
> Hab schon versucht, das [mm]u^{5}[/mm] in [mm]u*u^{4}[/mm] zu zerlegen,
> damit ich die Substitution anwenden kann. Aber irgendwie
> hab ich dann immer 3 Variablen drin, nämlich y,z und u.
> Was mach ich denn bloß falsch? Mir ist der Sinn dieser
> Substitution nicht wirklich klar....
Multipliziere die DGL mit [mm]u^{-5}[/mm]:
[mm]u'{u^{-5}}-u*u^{-5}=xu^{5}*u^{-5}[/mm]
[mm]\Rightarrow u'{u^{-5}}-u^{-4}=x[/mm]
Aus der Substitution [mm]z=u^{-4}[/mm] folgt durch Differentiation
[mm]z'=-4*u^{-5}*u'[/mm]
Daraus ergibt sich die DGL
[mm]-\bruch{1}{4}*z'-z=x[/mm]
Und diese DGL kannst Du jetzt lösen.
>
> liebe Grüße
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 13.05.2009 | | Autor: | Franzie |
Danke dir. Das hab ich glatt übersehen, dass man das so machen kann.
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