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Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 10:02 Fr 22.01.2010 | Autor: | andi7987 |
Aufgabe | Beispiel:
y'' + 3y' + 2y = [mm] 4*e^{2*x}
[/mm]
y(0) = - 3
y'(0) = 5 |
So ich habe jetzt folgendes gemacht:
1. Schritt:
[mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 3*\lambda [/mm] + 2 = 0
[mm] \lambda [/mm] 1;2 = [mm] \bruch{+3 +- 1}{2}
[/mm]
[mm] \lambda1 [/mm] = 2
[mm] \lambda2 [/mm] = 1
Lösung: yh = [mm] c1*e^{x} [/mm] + c2 [mm] *e^{2x}
[/mm]
2. Schritt:
[mm] 4*e^{2x} [/mm] = 0
yp = [mm] A*x*e^{2x}
[/mm]
y'p = (2Ax + A) * [mm] e^{2x}
[/mm]
y''p = 4A * (x + 1) * [mm] e^{2x}
[/mm]
= [mm] 4Ae^{2x} [/mm] * (x + 1) - 3 * [mm] e^{2x} [/mm] * (2 Ax + A) + 2 * [mm] (Axe^{2x} [/mm] = 4 [mm] e^{2x}
[/mm]
Jetzt hab ich es noch ausmultipliziert:
[mm] 4Axe^{2x} [/mm] + [mm] 4Ae^{2x} [/mm] - [mm] 6Axe^{2x} [/mm] - [mm] 3Ae^{2x} [/mm] + [mm] 2Axe^{2x} [/mm] = [mm] 4e^{2x}
[/mm]
Dann kann ich die [mm] e^{2x} [/mm] kürzen:
4Ax + 4A - 6Ax - 3A + 2Ax = 4
Dann kürzen sich schon mal alle mit x raus.
Übrig bleibt:
1A = 4
Lösung: A = 4
Das dann oben eingesetzt:
4 [mm] e^{2x}
[/mm]
3. Schritt: Zusammenführen von y = yh + yp
y = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{2x} [/mm] + 4 [mm] e^{2x}
[/mm]
4. Schritt: Die Randbedingungen ansehen bezüglich Errechnung von c1 und c2!
1. Bedingung: y(0) = -3
-3 = c1 + c2
Lösung: c1 = -3 - c2
2. Bedingung: y'(0) = 5
y'h = 2 * (c2 + 4) * [mm] e^{2x} [/mm] + c1 * [mm] e^{x}
[/mm]
5 = 2c2 + 8 + c1
5 = 2c2 + 8 + (-3 - c2)
Lösung: c2 = -5
Lösung: c1 = 2
Endlösung: y = 2 [mm] e^{x} [/mm] - [mm] 5e^{2x} [/mm] + 4 [mm] e^{2x}
[/mm]
Ist das richtig?
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 10:11 Fr 22.01.2010 | Autor: | Herby |
Hi,
> Beispiel:
>
> y'' + 3y' + 2y = [mm]4*e^{2*x}[/mm]
>
> y(0) = - 3
> y'(0) = 5
> So ich habe jetzt folgendes gemacht:
>
> 1. Schritt:
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] [mm] \red{-}[/mm] [mm]3*\lambda[/mm] + 2 = 0
oben in der DGL steht ein + und hier ein -
Was ist richtig?
LG
Herby
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Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 11:12 Fr 22.01.2010 | Autor: | andi7987 |
Danke, danke!
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