DGl 2. Ord. Potenzreihenansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung
y′′(x) - y(x) = 0
(a) wie gewohnt mit der Expontialansatz [mm] e^{\lambda x}
[/mm]
(b) mit dem Potenzreihenansatz. |
Aufgabe a) ist soweit klar.
Hier dürfte [mm] y(x)=Ae^{x}+be^{-x} [/mm] herauskommen.
Bei Aufgabe b) habe ich zunächst den Lösungsansatz
[mm] y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}x^{k} [/mm] gewählt.
Dementsprechend ist
[mm] y''(x)=\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)a_{k+2}x^{k} [/mm]
Frage: Da keine Anfangsbed. gegeben sind habe ich als Entwicklungspunkt [mm] x_{0}=0 [/mm] gewählt. Darf ich das, oder muss ich meinen Ansatz allgemein halten, d.h. [mm] y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}(x-x_{0})^{k} [/mm] ?
Dann habe ich den Lösungsansatz in die DGl eingesetzt und erhalte dabei
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} ((k+1)(k+2)a_{k+2}-a_{k})x^{k}=0
[/mm]
Mittels Rekursionsformel erhalte ich dann:
[mm] a_{k+2}=\bruch{a_{k}}{(k+1)(k+2)}
[/mm]
Frage: Da ich keine Anfangsbedingungen habe, darf ich doch rein praktisch [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] frei wählen in meinem Fall, oder?
Sprich ich habe in meinem Fall [mm] a_{0}=a_{1}=1 [/mm] gewählt.
und erhalte damit dann:
y(x)= [mm] 1+x+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{6}x^{3}+...=1+x+\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{a_{k}}{(k+1)(k+2)})x^{k+2}
[/mm]
Ist die Aufgabe damit soweit richtig gelöst, oder kann jemand darin einen Denkfehler entdecken?
Gruß
stromberg09
_________________________________________
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo stromberg89,
> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung
>
> y′′(x) - y(x) = 0
>
> (a) wie gewohnt mit der Expontialansatz [mm]e^{\lambda x}[/mm]
> (b)
> mit dem Potenzreihenansatz.
>
> Aufgabe a) ist soweit klar.
> Hier dürfte [mm]y(x)=Ae^{x}+be^{-x}[/mm] herauskommen.
>
Setze diese Lösung in die gegebene DGL ein
und Du kannst sie dann eventuell bestätigen.
> Bei Aufgabe b) habe ich zunächst den Lösungsansatz
> [mm]y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}x^{k}[/mm] gewählt.
> Dementsprechend ist
> [mm]y''(x)=\summe_{k=0}^{\infty} (k+1)(k+2)a_{k+2}x^{k}[/mm]
>
> Frage: Da keine Anfangsbed. gegeben sind habe ich als
> Entwicklungspunkt [mm]x_{0}=0[/mm] gewählt. Darf ich das, oder muss
> ich meinen Ansatz allgemein halten, d.h.
> [mm]y(x)=\summe_{k=0}^{\infty} a_{k}(x-x_{0})^{k}[/mm] ?
>
Der Ansatz ist allgemein zu halten.
> Dann habe ich den Lösungsansatz in die DGl eingesetzt und
> erhalte dabei
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} ((k+1)(k+2)a_{k+2}-a_{k})x^{k}=0[/mm]
>
> Mittels Rekursionsformel erhalte ich dann:
> [mm]a_{k+2}=\bruch{a_{k}}{(k+1)(k+2)}[/mm]
>
> Frage: Da ich keine Anfangsbedingungen habe, darf ich doch
> rein praktisch [mm]a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] frei wählen in meinem Fall,
> oder?
Die Anfangsbedingungen sind allgemein zu halten.
> Sprich ich habe in meinem Fall [mm]a_{0}=a_{1}=1[/mm] gewählt.
> und erhalte damit dann:
> y(x)=
> [mm]1+x+\bruch{1}{2}x^{2}+\bruch{1}{6}x^{3}+...=1+x+\summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{a_{k}}{(k+1)(k+2)})x^{k+2}[/mm]
>
Für die [mm]a_{k+2}[/mm] läßt sich bestimmt ein expliziter Ausdruck finden.
> Ist die Aufgabe damit soweit richtig gelöst, oder kann
> jemand darin einen Denkfehler entdecken?
>
> Gruß
> stromberg09
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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Alles klar, ich werde es soweit allgemein halten und noch versuchen das Endergebnis soweit anzupassen.
Vielen Dank schonmal.
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