DGl Exponentialmatrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Fr 25.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich soll zeigen das [mm] y(t)=e^{At}c [/mm] (mit c [mm] \in \IR [/mm] ^n beliebig) eine Lösung des Differentialgleichungssystems y'(t)=Ay(t) ist.
Die Exponentialmatrixdarstellung bekomme ich ja noch hin aber wie gehts dann weiter
[mm] e^A=\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{n!})A^n= E+A+\bruch{1}{2!}A^2+\bruch{1}{3}A^3 [/mm] +....+..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Ich soll zeigen das [mm]y(t)=e^{At}c[/mm] (mit c [mm]\in \IR[/mm] ^n
> beliebig) eine Lösung des Differentialgleichungssystems
> y'(t)=Ay(t) ist.
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> Die Exponentialmatrixdarstellung bekomme ich ja noch hin
> aber wie gehts dann weiter
>
> [mm]e^A=\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{n!})A^n= E+A+\bruch{1}{2!}A^2+\bruch{1}{3}A^3[/mm]
> +....+..
Es ist doch [mm] \bruch{d}{dt}(e^{At})=A*e^{At}
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:16 Fr 25.04.2014 | | Autor: | racy90 |
Also so:
Y'(t)= [mm] d/dt((E+tA+\bruch{t^2}{2!}A^2+...+)*c)
[/mm]
= [mm] A*c+tA^2c+\bruch{t^2}{2!}A^3c+..+=\summe_{k=1}^{\infy} \bruch{t^{k-1}}{(k-1)!}A^k*c
[/mm]
Andererseits gilt auch das : [mm] A*Y(t)=A*((E+tA+\bruch{t^2}{2}A^2+...)c
[/mm]
Somit sind die Ausdrücke ident also ist Y eine Lösung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 27.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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