DIRICHLETsche Fkt. unstetig < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie: Die DIRICHLETsche Funktion D : [mm] \IR\to \IR [/mm] definiert durch:
D(x) = 1 für x [mm] \in \IQ [/mm] und D(x) = 0 für x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] ist für jedes x [mm] \in \IR [/mm] unstetig.
Die Dirichletfunktion ist in jedem Punkt x aus der Menge der reellen Zahlen unstetig. |
Beweisen Sie: Die DIRICHLETsche Funktion D : [mm] \IR\to \IR [/mm] definiert durch:
D(x) = 1 für x [mm] \in \IQ [/mm] und D(x) = 0 für x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] ist für jedes x [mm] \in \IR [/mm] unstetig.
Die Dirichletfunktion ist in jedem Punkt x aus der Menge der reellen Zahlen unstetig.
Beweis: Sei x Element der reellen Zahlen; dann gibt es 2 Möglichkeiten:
1.Fall x ist eine irrationale Zahl, dann gibt es in jeder Umgebung dieses x eine rationale Zahl, da die Menge der rationalen Zahlen dicht liegt in der Menge der reellen Zahlen; sei ϵ = 0 , 5 > 0 ; der Betrag der Differenz dieser Funktionswerte von x und solch einer rationalen Zahl ist dann immer gleich 1 und damit größer gleich 0,5 (wird nie kleiner als epsilon=0,5); also liegt Unstetigkeit vor in diesem x.
2.Fall x ist eine rationale Zahl; vielleicht liegen die irrationalen Zahlen auch dicht in den reellen Zahlen, dann könnte man wie oben argumentieren - ich weiß es leider nicht!
stimmt das so? das ist meine idee...könnt ihr mir den Beweis vielleicht zeigen, wie man das ausführlicher machen kann? ich denke das wird nicht reichen für die Aufgabe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie: Die DIRICHLETsche Funktion D : [mm]\IR\to \IR[/mm]
> definiert durch:
> D(x) = 1 für x [mm]\in \IQ[/mm] und D(x) = 0 für x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]
> ist für jedes x [mm]\in \IR[/mm] unstetig.
> Die Dirichletfunktion ist in jedem Punkt x aus der Menge
> der reellen Zahlen unstetig.
> Beweisen Sie: Die DIRICHLETsche Funktion D : [mm]\IR\to \IR[/mm]
> definiert durch:
> D(x) = 1 für x [mm]\in \IQ[/mm] und D(x) = 0 für x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]
> ist für jedes x [mm]\in \IR[/mm] unstetig.
> Die Dirichletfunktion ist in jedem Punkt x aus der Menge
> der reellen Zahlen unstetig.
>
> Beweis: Sei x Element der reellen Zahlen; dann gibt es 2
> Möglichkeiten:
>
> 1.Fall x ist eine irrationale Zahl, dann gibt es in jeder
> Umgebung dieses x eine rationale Zahl, da die Menge der
> rationalen Zahlen dicht liegt in der Menge der reellen
> Zahlen; sei ϵ = 0 , 5 > 0 ; der Betrag der Differenz
> dieser Funktionswerte von x und solch einer rationalen Zahl
> ist dann immer gleich 1 und damit größer gleich 0,5 (wird
> nie kleiner als epsilon=0,5); also liegt Unstetigkeit vor
> in diesem x.
Die Idee ist in Ordnung
>
> 2.Fall x ist eine rationale Zahl; vielleicht liegen die
> irrationalen Zahlen auch dicht in den reellen Zahlen,
Na überleg doch mal ! Ist t [mm] \in \IR [/mm] und U eine Umgebung von t, "wieviele" irrationale Zahlen liegen in U ?
> dann
> könnte man wie oben argumentieren - ich weiß es leider
> nicht!
>
>
> stimmt das so? das ist meine idee...könnt ihr mir den
> Beweis vielleicht zeigen, wie man das ausführlicher machen
> kann? ich denke das wird nicht reichen für die Aufgabe.
Ohne Fallunterscheidung kannst Du es so machen:
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Dann gibt es Folgen [mm] (r_n) [/mm] und [mm] (i_n) [/mm] mit:
$ [mm] r_n \in \IQ$ [/mm] für jedes n und [mm] r_n \to x_0
[/mm]
und
[mm] i_n \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] für jedes n und [mm] i_n \to x_0.
[/mm]
Nun überleg Dir, was die Bildfolgen [mm] (f(r_n)) [/mm] und [mm] (f(i_n)) [/mm] treiben.
FRED
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Die Überlegung hatte ich auch schon, aber damit bin ich nicht weitergekommen. Also ich denke, das bei dem Beweis eine Fallunterscheidung sehr wichtig ist!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Die Überlegung hatte ich auch schon, aber damit bin ich
> nicht weitergekommen. Also ich denke, das bei dem Beweis
> eine Fallunterscheidung sehr wichtig ist!
Komische Antwort ?!
Also nochmal: was machen die Bildfolgen $ [mm] (f(r_n)) [/mm] $ und $ [mm] (f(i_n)) [/mm] $ ?
FRED
>
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ich weiß es nicht...ich verstehe nicht so richtig was du meinst...sorry..
hab selbst meinen Versuchen das zu beweisen schon ewig gesessen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich weiß es nicht...ich verstehe nicht so richtig was du
> meinst...
[mm] r_n [/mm] ist rational, also ist [mm] f(r_n) [/mm] = 1, [mm] i_n [/mm] ist irrational, also ist [mm] f(i_n) [/mm] = 0
Somit: [mm] r_n \to x_0, i_n \to x_0, [/mm] aber [mm] f(r_n) \to [/mm] 1 und [mm] f(i_n) \to [/mm] 0
Was bedeutet das für die Stetigkeit in [mm] x_0 [/mm] ?
FRED
> sorry..
> hab selbst meinen Versuchen das zu beweisen schon ewig
> gesessen...
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ist also nicht stetig! jetzt weiß ich was du damit meintest!
Aber ich denke, der Beweis den ich "versucht" habe ist insgesamt nicht sehr vollständig oder?
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> Aber ich denke, der Beweis den ich "versucht" habe ist
> insgesamt nicht sehr vollständig oder?
Hallo,
es ist so, wie es Dir Fred eine knappe halbe Stunde nach dem Einstellen Deines Posts gesagt hat: für Fall 1 hast Du genau die richtige Idee, ein bißchen zu feilen wäre noch am Aufschrieb - aber im Prinzip ist's völlig in Ordnung.
Gruß v. Angela
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