DLG -> System 1 Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mo 18.08.2008 | | Autor: | cKy |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ich habe ein grundlegendes Verstaendnisproblem wie man eine DLG der Ordnung n in ein System der Ordnung 1 ueberfuehrt.
Vielleicht koennte mir jemand das gerade plausibel in eigenen Worten kurz erklaeren (anhand des oben genannten bsp.), dass es fuer mich verstaendlicher wird, wenn ich es 'mathematisch' im Buch nachvollziehen will.
Vielen Dank im voraus, Christian.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 18.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Nennen wir (D) die Differentialgl. und (S) das System.
Mit "Äquivalenz" ist folgendes gemeint:
1. Ist y eine Lösung von (D), so ist z: = [mm] \vektor{y \\ y'} [/mm] eine Lösung von (S)
2. Ist [mm] \vektor{z_1 \\ z_2} [/mm] eine Lösung von (S), so ist y:= [mm] z_1 [/mm] eine Lösung von (D)
Beides rechnet man einfach nach. 1. mache ich Dir vor:
Sei also y eine Lösung von (D) und z: = [mm] \vektor{y \\ y'} [/mm] .
Dannn gilt y'' = 3y'+2y und
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }z [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }\vektor{y \\ y'} [/mm] = [mm] \vektor{y' \\ 3y'+2y} [/mm] = [mm] \vektor{y' \\ y''} [/mm] = z'.
z ist also eine Lösung von (S).
So, nun probier mal , ob Du 2. hinbekommst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mo 18.08.2008 | | Autor: | masa-ru |
Hallo fred97,
wir werden uns bald auch mit dem thema beschäftigen.
also DGL-SYSTEME haben wir bereits behandelt, das Vektorueler teil ist mir auch fremd :-(
wie kommst du von $y'' = 3y'+2y$ zu $ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }z [/mm] $
kann es trotzdem nicht nachvolziehen wie das S mit dem D zusammen hängt, bzw.:
$ [mm] \red{\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }}z [/mm] $ = $ [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }\vektor{y \\ y'} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{y' \\ 3y'+2y} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{y' \\ y''} [/mm] $ = z'.
woher kommt den dieser rote teil her ?
bitte kleinen gedankenstoß 
mfg
masa
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Hallo masa-ru,
Vorab: Fred hat nen kleinen VZF eingebaut 
Es muss heißen: [mm] $y''=3y'\red{-}2y$
[/mm]
> Hallo fred97,
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> wir werden uns bald auch mit dem thema beschäftigen.
>
> also DGL-SYSTEME haben wir bereits behandelt, das
> Vektorueler teil ist mir auch fremd :-(
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> wie kommst du von [mm]y'' = 3y'+2y[/mm] zu [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }z[/mm]
>
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>
> kann es trotzdem nicht nachvolziehen wie das S mit dem D
> zusammen hängt, bzw.:
>
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> [mm]\red{\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }}z[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ -2 & 3 }\vektor{y \\ y'}[/mm]
> = [mm]\vektor{y' \\ 3y'+2y}[/mm] = [mm]\vektor{y' \\ y''}[/mm] = z'.
>
> woher kommt den dieser rote teil her ?
Na das steht doch in der Aufgabenstellung, das soll das zu der DGl äquivalente System sein, die Richtung [mm] $[\Rightarrow]$ [/mm] wird hier gezeigt.
Mit Freds Wahl von [mm] $z=\vektor{z_1\\z_2}=\vektor{y\\y'}$ [/mm] mit $y$ Lösung der DGl ist für die Richtung [mm] $[\Rightarrow]$ [/mm] also:
[mm] $\pmat{0&1\\-2&3}\cdot{}z=\blue{\pmat{0&1\\-2&3}\cdot{}\vektor{z_1\\z_2}}=\pmat{0&1\\-2&3}\cdot{}\vektor{y\\y'}=\vektor{y'\\-2y+3y'}=\vektor{y'\\y''}=\vektor{y\\y'}'=\blue{\vektor{z_1\\z_2}'}$
[/mm]
Und genau das war in dieser Richtung zu zeigen ...
> bitte kleinen gedankenstoß
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> mfg
> masa
LG
schachuzipus
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