Darstellende Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Do 05.01.2006 | | Autor: | Nilfi |
| Aufgabe | Für die im folgenden gegebenen linearen Abbildungen A: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] untersuche man jeweils, ob es eine Basis B von [mm] \IR^2 [/mm] und Zahlen a,b aus [mm] \IR [/mm] gibt, so dass A bezüglich der Basis B durch die Matrix
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & b }
[/mm]
beschrieben wird; ggf. bestimme man B, a und b.
i) A wird bezüglich der kanonischen Basis von [mm] \IR^2 [/mm] durch die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] gegeben.
ii) A ... [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] gegeben.
|
Hallo,
hab mir folgendendes überlegt:
zu i) A(1,0) = (0,1); A (0,1) = (1,0)
Kann ich hieraus auf die Abbildungsvorschrift (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (y,x) schliessen?
die darstellende Matrix über B sagt aus, dass A [mm] (b_{1}) [/mm] = a* [mm] b_{1} [/mm] + 0* [mm] b_{2} [/mm] ist.(wobei [mm] b_{1} [/mm] der erste Vektor aus B ist)
[mm] b_{1} [/mm] := (x,y)
=> A (x,y) = (y,x) = a* (x,y) => a =1 und x = y
bei [mm] b_{2} [/mm] dann genauso
Aber irgendwie finde ich dies Lösung "komisch". Wo ist evtl mein Denkfehler?
Schonmal Danke und Gruß
nilfi
|
|
| |
|
Hallo,
schaut doch gut und richtig aus !!! Fuer [mm] b_2 [/mm] analog, also was ist dann ? Kann es eine
solche Basis geben ?
Du kannst auch mal geometrisch denken: Was macht die Matrix geometrisch gesehen ?
Und welche Unterr"aume bleiben fix unter ihr ?
Gruss,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Do 05.01.2006 | | Autor: | Nilfi |
Danke für die schnelle Hilfe.
Auf den 2. Blick erkenn ich dann auch, das i) nicht "klappt"
und bei ii) die Basis B={(-1,1),(1,1)}, a= -1 b =1 sein muss.
nilfi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Do 05.01.2006 | | Autor: | dankman |
zu ii)
Man konnte ja auf die Funtionsvorschrift (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (y,-x) schließen.
Dazu deine Ergebnisse B={(-1,1),(1,1)}, a= -1 b =1
[mm] \Rightarrow [/mm] F(-1,1)= (1,1)= a * (-1,1) + 0 * (1,1)
Also zwei Gleichungen mit a= -1 : -1 * -1 = 1 , das ist richtig
aber: -1* 1= 1, ist falsch ??
Irgendwas kann da also nicht stimmen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Nilfi |
stimmt meine Überlegung war etwas zu schnell,
hab auch gesehen dass die Lösung nicht stimmen kann, aber mir ist bis jetzt auch noch keine lösung eingefallen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Fr 06.01.2006 | | Autor: | dankman |
i) Hatte ich so wie du...
Bei ii) hab ich mir gestern auch ewig den Kopf zerbrochen und kam auf keine Lösung, vielleicht kann uns der Mathias noch einmal helfen...?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Nilfi |
Hab nun von Mitstudenten gehört, dass
es bei i) eine Lösung, also ein B gibt.
Und zwar mit Hilfe der Transformationsformel.
Kann mir das vielleicht einer erklären?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Fr 06.01.2006 | | Autor: | SEcki |
Hallo,
Ich habe das I) wohl als ii) gelesen, sorry.
> Hab nun von Mitstudenten gehört, dass
> es bei i) eine Lösung, also ein B gibt.
Ja gibt es wohl. (Mit mehr Hilfsmitteln sieht man schnell das das char. Polynom [m]X^2-1[/m] zerfällt in zwei Linearfaktoiren, die Matrix also diagonalisierbar ist.)
> Und zwar mit Hilfe der Transformationsformel.
Und wie soll der Beweis denn gehen? (Das weiss ich immer noch nicht.)
> Kann mir das vielleicht einer erklären?
Vielleicht dirket: welche Elemente bleiben denn fix unter vertauschen von den Koordinaten? Also kann man erstmal die Vektoren bestimmen für die [m](x,y)=(y,x)[/m] gilt. Gut, jetzt muss man sich überlegen welches a und b oben überhaupt noch auftreten können. Man sieht ja, das bei der Matrix die Vektoren nicht reskaliert werden, man also davon ausgehen kann, dass die Skalare Betrag 1 haben (heuristisch), also bestimme doch mal alle Vektoren mit [m](x,y)=-(y,x)[/m]. Jetzt müsstest du eine Basis erhalten.
SEcki
|
|
|
|
