Darstellende Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ich habe ein kleines Verständnisproblem.
Und zwar habe ich die Abbildung [mm] D:\IR\le_2[x] \to \IR\le_2[x], p(x)\to [/mm] xp'(x). Ichn soll nun die darstellende Matrix von D in der Basis B: [mm] {-2+2x+3x^2,-2x+3x^2,-1x^2}. [/mm] Ist folgender Ansatz richtig?
1. Bilder der Basisvektoren [mm] L_1=L(p_1(x))= -2+2x+3x^2, L_2=(p_2(x))=-2x+3x^2, L_3=L(p_3(x))=-1x^2
[/mm]
Als nächstes würde ich die Koordinatenvektoren [mm] L_1, L_2, L_3 [/mm] in der Basis B darstellen wollen. Hier bräuchte ich ein bischen Hilfe. WIe mache ich das am besten?
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> Hallo ich habe ein kleines Verständnisproblem.
> Und zwar habe ich die Abbildung [mm]D:\IR\le_2[x] \to \IR\le_2[x], p(x)\to[/mm]
> xp'(x). Ichn soll nun die darstellende Matrix von D in der
> Basis B: [mm]{-2+2x+3x^2,-2x+3x^2,-1x^2}.[/mm] Ist folgender Ansatz
> richtig?
Hallo,
was Du schreibst, nämlich "Bilder der Basisvektoren" und anschließend "in der Basis B darstellen" klingt nicht so übel.
Was Du dann tust, ist mir allerdings völlig schleierhaft.
Für "Bilder der Basisvektoren" müßtest Du ja wohl irgendwie die Abbildung D verwenden, und davon, daß das der Fall ist, kann ich keine Spruren entdecken.
Ich sehe dort ein L, von welchem ich nicht weiß, was das sein soll, und [mm] p_i, [/mm] auf die ich mir auch keinen Reim machen kann.
>
> 1. Bilder der Basisvektoren [mm]L_1=L(p_1(x))= -2+2x+3x^2, L_2=(p_2(x))=-2x+3x^2, L_3=L(p_3(x))=-1x^2[/mm]
Mach mal folgendes:
Berechne
[mm] D(-2+2x+3x^2)=...,
[/mm]
schreibe dieses Ergebnis als Linearkombination bzgl. B und steck' die Koeffizienten als erste Spalte in die Matrix.
Damit hast Du dann die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Die anderen beiden entsprechend.
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Ein nur auf den ersten Blick anderer Weg könnte über die darstellende Matrix bzgl der Standardbasis und die passenden Basistransformationen laufen:
Stell die darstellende Matrix [mm] A_E_E [/mm] von D bzgl der Standardbasis [mm] E:=(1,x,x^2) [/mm] auf.
Schreibe die Basisvektoren v. B als Koordinatenvektoren bzgl. E und stecke diese in eine Matrix T.
Die Matrix
[mm] T^{-1}A_E_ET [/mm] ist dann die darstellende Matrix bzgl. B, [mm] A_B_B.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ja klasse. Am Ende müsste dann rauskommen:
[mm] \vmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -9 & -3 & 2 }.
[/mm]
Ich habe nun allerdings noch ein kleines Problem mit folgender Aufgabe vielleicht Aufgrund der komplexen Fragestellung!!!
Ich soll den Vektorraum V: {p [mm] \in [/mm] IR [mm] \le [/mm] 2[x] | p(0)=0 } betrachten und darin die Basis A= [mm] {x^2+x, -x}.
[/mm]
Nun sei L: V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis A die darstellende Matrix [mm] L_A=\vmat{ 3 & 2 \\ -1 & 0} [/mm] hat. Es ist eine weitere Basis B gegeben. [mm] B={x^2,2x^2+6x}.
[/mm]
So nun zur Aufgabe:
Bestimmen Sie die Koordinatenabbildung [mm] K_B [/mm] und die koordinatentransformation [mm] S=K_B \circ K_A^-^1
[/mm]
Ich weiß garnicht womit ich Anfangen soll. Außerdem... fhelt mir hier nicht noch ein 3. Basisvektor?
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> Ja klasse. Am Ende müsste dann rauskommen:
> [mm]\vmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -9 & -3 & 2 }.[/mm]
Ja.
> Ich habe
> nun allerdings noch ein kleines Problem mit folgender
> Aufgabe vielleicht Aufgrund der komplexen Fragestellung!!!
Um keine Verwirrung zu stiften, würde ich hier gerne solange schweigen, bis Du sagst, wie [mm] K_B [/mm] und [mm] K_A [/mm] definiert ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Mo 17.12.2007 | | Autor: | dodov8423 |
naja [mm] K_A [/mm] und [mm] K_B [/mm] sind irgendwie garnicht definiert. Also die Aufgabe ist so gestellt, wie ich sie angegeben hatte. Oder meinst du jetzt allgemein die Defintion von den Abbildungen???
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Ich soll den Vektorraum V: {p [mm]\in[/mm] IR [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2[x] | p(0)=0 }
> betrachten und darin die Basis A= [mm]{x^2+x, -x}.[/mm]
> Nun sei L:
> V [mm]\to[/mm] V eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis A
> die darstellende Matrix [mm]L_A=\vmat{ 3 & 2 \\ -1 & 0}[/mm] hat. Es
> ist eine weitere Basis B gegeben. [mm]B={x^2,2x^2+6x}.[/mm]
>
> So nun zur Aufgabe:
> Bestimmen Sie die Koordinatenabbildung [mm]K_B[/mm] und die
> koordinatentransformation [mm]S=K_B \circ K_A^-^1[/mm]
>
> Ich weiß garnicht womit ich Anfangen soll. Außerdem...
> fhelt mir hier nicht noch ein 3. Basisvektor?
Hallo,
nein, der fehlt nicht, denn der Vektorraum V, den Du jetzt betrachten sollst, umfaßt ja nicht alle Polynome vom Höchstgrad 2, sondern nur eine Teilmenge davon, nämlich die Polynome, die bei 0 eine Nullstelle haben. Du kannst Dir leicht überlegen, daß beispielsweise [mm] E:=(x,x^2) [/mm] eine Basis dieses Vektorraumes ist.
Ich habe mich nun mal schlau gemacht:
Die Koordinatenabbildung [mm] K_B [/mm] ist die Abbildung (Isomorphismus), die jedem Vektor [mm] v\in [/mm] V seine Koordinaten bzgl. B zuordnet,
[mm] K_A [/mm] dann entsprechend und [mm] K_A^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung.
Was tut also [mm] S=K_B \circ K_A^-^1?
[/mm]
Diese Abbildung wandelt Koordinaten, die bzgl. A sind, in solche bzgl. B um.
Gruß v. Angela
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hä!!! Ich versteh das alles garnicht mehr. Wie genau kann ich denn jetzt die Koordinatenabbildung [mm] K_B [/mm] bestimmen. Versteh das grade garnicht. Das mit dem Vektorraum Verstehe ich ja ( [mm] V=\{p\in\IR\le2[x]|p(0)=0\} [/mm] ). Meine Polynome dürfen höchstens 2. Grades sein und müssen die EIgenschaft haben, dass wenn man 0 einsetzt auch Null herauskommt ( [mm] A:=\{x^2+x,-x\} [/mm] ). Nun sei [mm] L:V\toV [/mm] eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis A die darstellende Matrix [mm] L_A= \vmat{ 3 & 2 \\ -1 & 0} [/mm] hat. Außerdem ist eine weitere Basis gegeben [mm] (B=\{x^2,2x^2+6x\} [/mm] ).
Aber wie kann ich jetzt zunächst meine Koordinatenabbildung [mm] K_B [/mm] bestimmen? Es scheint sich ja anscheinend um die Basis B zu handeln. Muss ich nun eine Matrix [mm] L_B [/mm] finden? Wie die Matrix [mm] L_A [/mm] bezüglich der von A? Ist das die Frage??? Wenn ja, wie kann ich sowas berechnen??? Mit welchem Schema
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> hä!!! Ich versteh das alles garnicht mehr. Wie genau kann
> ich denn jetzt die Koordinatenabbildung [mm]K_B[/mm] bestimmen.
Hallo,
Du hast die Basen [mm] A=(a_1, a_2) [/mm] und [mm] B=(b_1, b_2)
[/mm]
Jeder Vektor [mm] v\in [/mm] V hat eine eindeutige Darstellung bzgl. dieser Basen.
Die Koordinatenabbildungen [mm] K_A [/mm] bzw. [mm] K_B [/mm] sind wenig geheimnisvoll:
sie ordnen jedem [mm] v\in [/mm] V seinen Koordinatenvektor bzgl. A bzw. B zu, also
[mm] K_A: V\to \IR^2
[/mm]
mit
[mm] K_A(v):=\vektor{k_1 \\ k_2} [/mm] für [mm] v=k_a_1+k_2a_2,
[/mm]
[mm] K_B [/mm] entsprechend.
Du kannst nun die darstellende Matrix v. [mm] S=K_B\circ K_A^{-1} [/mm] aufstellen, indem Du
[mm] K_B\circ K_A^{-1}\vektor{1 \\ 0} [/mm] und
[mm] K_B\circ K_A^{-1}\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
bestimmst und die Ergebnisse in die Spalten der darstellenden Matrix steckst.
Gruß v. Angela
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Okay das mit der Koordinatentransformation krieg ich denke ich mal hin. Jetzt ist halt nur die Frage mit der Koordinatenabbildung [mm] K_B. [/mm] Ist die wirklich so geheimnisvoll oder kann ich die dennoch irgendwie darstellen?
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> Okay das mit der Koordinatentransformation krieg ich denke
> ich mal hin. Jetzt ist halt nur die Frage mit der
> Koordinatenabbildung [mm]K_B.[/mm] Ist die wirklich so geheimnisvoll
> oder kann ich die dennoch irgendwie darstellen?
Die ist doch völlig analog zu [mm] K_A.
[/mm]
Oder mißverstehe ich Dich?
Gruß v. Angela
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Ich weiß nicht vielleicht!!! Also wir sollen die Koordinatenabbildung irgwndwie angeben. Vielleicht ist die Aufgabe auch ein bischen blöd gestellt. Also ich hab auch meine Probleme damit. Liegt aber wahrscheinlich an was anderes :-(. Also wir haben ja den Vektorraum gegeben, eine Basis A und eine lineare Abbildung die bezüglich der Basis A eine darstellende Matrix hat . Außerdem ist eine weitere Basis B gegeben (siehe erster Thread), bezüglich welcher ich jetzt zunächst die Koordinatenabbildung [mm] K_B [/mm] bestimmen soll. Aber was ist diese Koordinatenabbildung bzw. wie kann ich diese bezüglich der Basis B bestimmen?
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> Außerdem ist eine weitere
> Basis B gegeben (siehe erster Thread), bezüglich welcher
> ich jetzt zunächst die Koordinatenabbildung [mm]K_B[/mm] bestimmen
> soll. Aber was ist diese Koordinatenabbildung bzw. wie kann
> ich diese bezüglich der Basis B bestimmen?
Die Koordinatenabbildung doch ist die Abbildung, welche jedem [mm] v\in [/mm] V seinen Koordinatenvektor bzgl. B zuordnet.
Es ist also v als Linearkombination der [mm] b_i [/mm] zu schreiben, und die entsprechenden Koeffizienten geben den Koordinatenvektor.
Gruß v. Angela
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Okay das verstehe ich auch so halbwegs. Nur wie geht das bei Polynomen? Stelle ich hier ebenfalls ein LGS auf? Wenn ja, wie stelle ich mein einzelnes Polynom dar? In Zeile oder Spalte?
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> Okay das verstehe ich auch so halbwegs. Nur wie geht das
> bei Polynomen? Stelle ich hier ebenfalls ein LGS auf? Wenn
> ja, wie stelle ich mein einzelnes Polynom dar? In Zeile
> oder Spalte?
Hallo,
Deine Vektoren v sind Polynome der Gestalt [mm] ax^2+bx.
[/mm]
Wenn Du [mm] K_B(ax^2+bx) [/mm] wissen willst, mußt Du [mm] ax^2+bx [/mm] also Linearkombination der Vektoren in B schreiben. Die entsprechenden Koeffizienten sind dann die Koordinaten bzgl. B, also die Einträge in [mm] Koordinatenvektor\in \IR^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Gut ich habe zwei Polynome. einml mit der Gestalt [mm] ax^2+bx, [/mm] und einmal mit der Gestalt [mm] ax^2.
[/mm]
Jetzt soll ich in Linearkombination schreiben. Also:
[mm] \alpha_1x^2+\alpha_2(2x^2+6x). [/mm] so ich schätze mal, jetzt muss ich dann nach [mm] \alpha [/mm] auflösen oder? Ich erhalte dann:
[mm] \alpha_1x^2+\alpha_22x^2+\alpha_26x. [/mm] ABer wie kann ich das alles auflösen??? Ich weiß einfach nicht weiter.
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> Gut ich habe zwei Polynome. einml mit der Gestalt [mm]ax^2+bx,[/mm]
> und einmal mit der Gestalt [mm]ax^2.[/mm]
???
Du willst jetzt für [mm] ax^2+bx K_B(ax^2+bx) [/mm] bestimmen?
> Jetzt soll ich in Linearkombination schreiben. Also:
> [mm]\alpha_1x^2+\alpha_2(2x^2+6x).[/mm]
Das mußt Du jetzt gleichsetzen mit [mm] ax^2+bx,
[/mm]
durch Koeffizientenvergleich kannst Du [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] bestimmen, in Abhängigkeit v. a und b natürlich.
Damit weißt Du dann
[mm] K_B(ax^2+bx)=\vektor{... \\...}_B
[/mm]
Gruß v. Angela
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Okay. Und waäre das dann schon das Ergebnis, oder mus ich dann noch was machen? Und wie sieht es jetzt aus mit dieser Koordinatentransformation? Was genau muss ich dort machen? Erstmal brauche ich doch [mm] K_A [/mm] oder? Das ist ja noch nicht gegeben. Und dann mache ich einfach die Inverse dazu.
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> Okay. Und waäre das dann schon das Ergebnis, oder mus ich
> dann noch was machen? Und wie sieht es jetzt aus mit dieser
> Koordinatentransformation? Was genau muss ich dort machen?
> Erstmal brauche ich doch [mm]K_A[/mm] oder? Das ist ja noch nicht
> gegeben. Und dann mache ich einfach die Inverse dazu.
Genau, [mm] K_A [/mm] bzw. das Inverse benötigst Du, und die Verkettung ergibt dann Deine Koordinatentransformation, für welche Du später sinnigerweise die darstellende Matrix aufstellst.
Dann kannst Du es nämlich später schön mit der gegebenen darstellenden Matrix der Abbildung, deren Namen ich vergessen habe, multiplizieren, denn ich nehme mal stark an, daß ein Aufgabenteil folgt, in welchem Du die Matrix der Abbildung bzgl der anderen Basis angeben sollst.
Gruß v. Angela
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Okay also für [mm] K_B [/mm] erhalte ich [mm] \alpha_1=\bruch{a}{3} [/mm] und [mm] \alpha_2=\bruch{b}{6} [/mm] bzw. [mm] \vektor{\bruch{a}{3} \\ \bruch{b}{6}}.
[/mm]
Für [mm] K_A [/mm] erhalte ich [mm] \alpha_1=a [/mm] und [mm] \alpha_2=b. [/mm] Wobei ich mir bei beiden nicht 100% sicher bin.
[mm] A={x^2+x,-x}
[/mm]
[mm] B={x^2,2x^2+6x}
[/mm]
Oder erhalte ich für [mm] K_B [/mm] eher sowas wie [mm] \alpha_1=\bruch{a+b}{3} [/mm] und [mm] \alpha_2=\bruch{b}{6}
[/mm]
und für [mm] K_A=\alpha_1=a [/mm] und [mm] \alpha_2=a-b???
[/mm]
Ich weiß das leider echt nicht so genau! Sry
Ich habe folgende Rechnung durchgeführt:
für [mm] K_B: \alpha_1x^2+\alpha_2(2x^2+6x)=\alpha_1x^2+\alpha_22x^2+\alpha_26x [/mm] und dann habe ic nach [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] aufgelöst
für [mm] K_A:
[/mm]
[mm] \alpha_1(x^2+x)-\alpha_2x=\alpha_1x^2+\alpha_1x-\alpha_2x [/mm] und ebenfalls nach [mm] \alpha_1 [/mm] und [mm] \alpha_2 [/mm] aufgelöst. Welches der beiden obigen Ergebnisse jetzt allerdings richtig ist, kann ich nicht sagen. Da du meintest in Abhängigkeit von a und b, kann ja nur das zweite richtig sein. Wobei mir das noch ein bischen schleierhaft ist.
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> Oder erhalte ich für [mm]K_B[/mm] eher sowas wie
> [mm]\alpha_1=\bruch{a+b}{3}[/mm] und [mm]\alpha_2=\bruch{b}{6}[/mm]
> und für [mm]K_A=\alpha_1=a[/mm] und [mm]\alpha_2=a-b???[/mm]
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> Ich weiß das leider echt nicht so genau! Sry
Hallo,
Du erhältst für [mm] K_B(ax^2+bx) =\vektor{a_1 \\ a_2}das, [/mm] was Du hier beim Koeffizientenvergleich bekommst:
>>> [mm] ax^2+bx=$ \alpha_1x^2+\alpha_2(2x^2+6x)$=(a_1+2a_2)x^2+6a_2
[/mm]
==>
[mm] a_1+2a_2=a
[/mm]
[mm] 6a_2=b
[/mm]
==> [mm] a_1=... [/mm] und [mm] a_2=...
[/mm]
Für [mm] K_A [/mm] hast Du richtig gerechnet.
Also ist für alle a,b
[mm] K_A(ax^2+bx)=\vektor{a \\ a-b}
[/mm]
Gruß v. Angela
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