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Forum "Lineare Abbildungen" - Darstellende Matrix
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Darstellende Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:35 So 29.03.2009
Autor: meep

Aufgabe
Die lineare Abbildung F: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] habe bezügliche der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und des [mm] \IR^2 [/mm] die darstellende Matrix

A = [mm] \pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 } [/mm]

Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn

im [mm] \IR^3 [/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und

im [mm] \IR^2 [/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}

gewählt wird.

hi zusammen,

ich hatte bisher folgenden Ansatz.

f(1,0,0) = (7, -16)

Nun in die gewünschte Basis B transformiert lautet das ganze dann:

(7, -16) = x*(8,1,3) + y*(1,1,0) + z*(2,0,1)

also

7 = 8x + y + 2z

-16 = x + y

das dumme ist nun, dass ich hier nun z habe und das LGS ja dann nicht einfach lösbar ist. Oder fällt mein z raus weil die Abbildung ja vom [mm] \IR^3 [/mm] in den [mm] \IR^2 [/mm] geht ?

ich nehm mal an das z würde wegfallen dann bekomme ich für x = [mm] \bruch{23}{7} [/mm] und für y = [mm] \bruch{-135}{7} [/mm]

Das Gleiche halt noch mit f(0,1,0) und f(0,0,1) machen für die Darstellungsmatrix.

Die Frage ist nun ob das stimmt, dass z wirklich rausfällt und ob die Vorgehensweise richtig ist.

MFG

meep

        
Bezug
Darstellende Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:14 So 29.03.2009
Autor: angela.h.b.


> Die lineare Abbildung F: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] habe bezügliche
> der Standardbasen des [mm]\IR^3[/mm] und des [mm]\IR^2[/mm] die darstellende
> Matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn
>
> im [mm]\IR^3[/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und
>
> im [mm]\IR^2[/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}

Hallo,

Du machst das falsch bisher.

In die neue Matrix gehören in die Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C.

Ich zeig' Dir für den erstan mal, wie das geht

[mm] f(\vektor{8\\1\\3})=8*\vektor{7\\-16}+\vektor{-10\\23}+3*\vektor{-14\\32}=\vektor{4\\-9} =a_1*\vektor{4\\9}+a_2\vektor{-3\\7}=\vektor{a_1\\a_2}_{(C)} [/mm]

Dieser Vektor käme in die 1. Spalte der neuen Matrix. Die anderen entsprechend.


---

Falls Ihr mit Transformationsmatrizen arbeitet, kannst Du die neue Matrix auch so bekommen:

[mm] _CM_B=(\pmat{ 4 &-3 \\9 &7 })^{-1}*\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }*\pmat{ 8 & 1 & 2\\1 &1& 0\\3&0&1} [/mm]


Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Darstellende Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:35 So 29.03.2009
Autor: meep

vielen dank, wie ich sehe habe ich die ganze aufgabe sogar falsch verstanden!

Bezug
                
Bezug
Darstellende Matrix: Tippfehler?
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 16:41 Do 02.04.2009
Autor: Kevinus


> > Die lineare Abbildung F: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] habe bezügliche
> > der Standardbasen des [mm]\IR^3[/mm] und des [mm]\IR^2[/mm] die darstellende
> > Matrix
> >
> > A = [mm]\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }[/mm]
>  >  
> > Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn
> >
> > im [mm]\IR^3[/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und
> >
> > im [mm]\IR^2[/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}
>
> Hallo,
>  
> Du machst das falsch bisher.
>  
> In die neue Matrix gehören in die Spalten die Bilder der
> Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C.
>  
> Ich zeig' Dir für den erstan mal, wie das geht
>  
> [mm]f(\vektor{8\\1\\3})=8*\vektor{7\\-16}+\vektor{-10\\23}+3*\vektor{-14\\32}=\vektor{4\\-9} =a_1*\vektor{4\\9}+a_2\vektor{\red{-7}\\\red{3}}=\vektor{a_1\\a_2}_{(C)}[/mm]
>  
> Dieser Vektor käme in die 1. Spalte der neuen Matrix. Die
> anderen entsprechend.

Ist das wirklch so richtig?


Bezug
                        
Bezug
Darstellende Matrix: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 19:40 Do 02.04.2009
Autor: angela.h.b.


> > > A = [mm]\pmat{ 7 & -10 & -14 \\ -16 & 23 & 32 }[/mm]
>  >  >  
> > > Bestimmen Sie die darstellende Matrix von F, wenn
> > >
> > > im [mm]\IR^3[/mm] die Basis B = {(8,1,3),(1,1,0),(2,0,1)} und
> > >
> > > im [mm]\IR^2[/mm] die Basis C = {(4,9),(-3,7)}

> [mm]f(\vektor{8\\1\\3})=8*\vektor{7\\-16}+\vektor{-10\\23}+3*\vektor{-14\\32}=\vektor{4\\-9} =a_1*\vektor{4\\9}+a_2\vektor{\red{-7}\\\red{3}}=\vektor{a_1\\a_2}_{(C)}[/mm]
>  
> >  

> > Dieser Vektor käme in die 1. Spalte der neuen Matrix. Die
> > anderen entsprechend.
>  
> Ist das wirklch so richtig?

Hallo,

nein, der rotmarkierte Vektor ist natürlich nicht richtig, da hatte ich einen inzwischen korrigierten Dreher drin, die Transformationsmatrix stimmte jedoch.

Danke für den Hinweis und

Gruß v. Angela


>  


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