Darstellung einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
es seien [mm] $\sigma,Q\in\IR^{d,d}$ [/mm] zwei Matrizen. Weiter sei $Q$ symmetrisch und positiv definit.
Lässt sich anhand der folgenden Gleichheit
[mm] $\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{d}\sigma_{i,k}\sigma_{j,k}=Q_{i,j}$ [/mm] für alle [mm] $i,j=1,\ldots,d$
[/mm]
- von der ich weiß, dass sie gilt - für [mm] $\sigma$ [/mm] eine konkrete Matrixdarstellung angeben (die nur Q-Terme enthält)?
Vorab danke für die Unterstützung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Fr 12.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Denny,
erst mal eine Rückfrage:
> es seien [mm]\sigma,Q\in\IR^{d,d}[/mm] zwei Matrizen. Weiter sei [mm]Q[/mm]
> symmetrisch und positiv definit.
>
> Lässt sich anhand der folgenden Gleichheit
>
> [mm]\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{d}\sigma_{i,k}\sigma_{j,k}=Q_{i,j}[/mm]
> für alle [mm]i,j=1,\ldots,d[/mm]
Wirklich [mm] $\summe \sigma_{i,k}\sigma_{j,k}$ [/mm] oder eher [mm] $\summe \sigma_{i,k}\sigma_{\blue{k,j}}$?
[/mm]
> - von der ich weiß, dass sie gilt - für [mm]\sigma[/mm] eine
> konkrete Matrixdarstellung angeben (die nur Q-Terme
> enthält)?
Eine Lösung für d>2 sehe ich allerdings in beiden Fällen noch nicht. Andererseits könnte ich mir vorstellen, dass [mm] \sigma^{-1} [/mm] in Q-Termen darstellbar ist, dann hätte mans ja auch.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo Denny,
>
> erst mal eine Rückfrage:
>
> > es seien [mm]\sigma,Q\in\IR^{d,d}[/mm] zwei Matrizen. Weiter sei [mm]Q[/mm]
> > symmetrisch und positiv definit.
> >
> > Lässt sich anhand der folgenden Gleichheit
> >
> > [mm]\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{d}\sigma_{i,k}\sigma_{j,k}=Q_{i,j}[/mm]
> > für alle [mm]i,j=1,\ldots,d[/mm]
>
> Wirklich [mm]\summe \sigma_{i,k}\sigma_{j,k}[/mm] oder eher [mm]\summe \sigma_{i,k}\sigma_{\blue{k,j}}[/mm]?
Eigentlich weiß ich die Gleichheit für die linke Seite. Angenommen [mm] $\sigma$ [/mm] is symmetrisch, dann gilt die Gleichheit auch für Deinen Term. Wie liese sich dann [mm] $\sigma$ [/mm] durch $Q$ oder [mm] $Q^{-1}$ [/mm] darstellen? Lässt sich vielleicht im Nachhinein von der Darstellung zeigen, dass [mm] $\sigma$ [/mm] symmetrisch ist, weil dann wäre Deine Änderung sogar gerechtfertigt.
> > - von der ich weiß, dass sie gilt - für [mm]\sigma[/mm] eine
> > konkrete Matrixdarstellung angeben (die nur Q-Terme
> > enthält)?
>
> Eine Lösung für d>2 sehe ich allerdings in beiden Fällen
> noch nicht. Andererseits könnte ich mir vorstellen, dass
> [mm]\sigma^{-1}[/mm] in Q-Termen darstellbar ist, dann hätte mans
> ja auch.
>
> Grüße
> reverend
>
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Hallo nochmal,
erstmal danke für die Rückantwort.
Vorläufig nur eine Beobachtung:
> es seien [mm]\sigma,Q\in\IR^{d,d}[/mm] zwei Matrizen. Weiter sei [mm]Q[/mm]
> symmetrisch und positiv definit.
>
> Lässt sich anhand der folgenden Gleichheit
>
> [mm]\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{d}\sigma_{i,k}\sigma_{j,k}=Q_{i,j}[/mm]
> für alle [mm]i,j=1,\ldots,d[/mm]
>
> - von der ich weiß, dass sie gilt - für [mm]\sigma[/mm] eine
> konkrete Matrixdarstellung angeben (die nur Q-Terme
> enthält)?
Es gilt also [mm] \sigma*\sigma^T=\sigma^T*\sigma=2Q.
[/mm]
Damit ist m.E. klar, dass [mm] \sigma [/mm] ebenfalls symmetrisch ist.
Die positive Definitheit weiß ich aber gerade noch nicht unterzubringen. Geht hier vielleicht etwas über die Eigenwerte?
Ich versuchs später mal, bin jetzt erstmal weg und lasse die Frage weiter halboffen.
Grüße
reverend
> Vorab danke für die Unterstützung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Denny22 |
Okay, vielen Dank erst einmal. Ich denke, dass mir das schon ausreicht.
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Hallo Denny,
ich kann mir die Schreibarbeit sparen. 
Es ist alles schon brav auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ausnotiert. In der Tat kommen Eigenwerte vor, und in der Tat weist die Aufgabe für positiv definite symmetrische Matrizen noch eine Besonderheit auf: sie ist eindeutig lösbar, siehe den letzten Abschnitt aus dem verlinkten Teil des Wikipedia-Artikels.
Da sich [mm] \sigma [/mm] aus $Q$ eindeutig ermitteln lässt, gibt es also auch eine Darstellung von [mm] \sigma [/mm] nur aus $Q$-Termen, auch wenn sie ohne explizite Kenntnis von $Q$ eben nicht explizit anzugeben sind.
Herzliche Grüße
reverend
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