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Hallo miteinander.
Für meine Übungsaufgaben habe ich einen Beweis gemacht, der soweit auch funktioniert. Nur verwende ich während des Beweises eine Behauptung von mir, undzwar:
Jede natürliche Zahl n lässt sich durch n = f(k) = 6k + d mit k [mm] \in \IN_0 [/mm] und d [mm] \in \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] darstellen.
Meines Erachtens stimmt die Behauptung, nur würde ich sie gerne zur Absicherung beweisen. Mein erster Gedanke galt da der Induktion, nur verwende ich ja hier mehrere Unbekannte, und für sowas habe ich nie eine Induktion gemacht. Kann man sowas überhaupt mit Induktion beweisen?
Über Tipps, die o.g. Formel zu beweisen wäre ich sehr dankbar =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Sa 19.12.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo miteinander.
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> Für meine Übungsaufgaben habe ich einen Beweis gemacht,
> der soweit auch funktioniert. Nur verwende ich während des
> Beweises eine Behauptung von mir, undzwar:
> Jede natürliche Zahl n lässt sich durch n = f(k) = 6k +
> d mit k [mm]\in \IN_0[/mm] und d [mm]\in \{1,2,3,4,5,6\}[/mm] darstellen.
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> Meines Erachtens stimmt die Behauptung, nur würde ich sie
> gerne zur Absicherung beweisen. Mein erster Gedanke galt da
> der Induktion, nur verwende ich ja hier mehrere Unbekannte,
> und für sowas habe ich nie eine Induktion gemacht. Kann
> man sowas überhaupt mit Induktion beweisen?
>
> Über Tipps, die o.g. Formel zu beweisen wäre ich sehr
> dankbar =)
verschaffen wir uns erstmal einen Überblick, welche Zahlen man mit Deiner Formel $n=6k+d$ erhält:
[mm] $k=0\,$ [/mm] liefert die Zahlen von [mm] $1\,$ [/mm] bis [mm] $6\,.$
[/mm]
[mm] $k=1\,$ [/mm] liefert die Zahlen von [mm] $7\,$ [/mm] bis [mm] $12\,.$
[/mm]
[mm] $k=2\,$ [/mm] liefert die Zahlen von [mm] $13\,$ [/mm] bis [mm] $18\,.$
[/mm]
[mm] $\,.$
[/mm]
[mm] $\,.$
[/mm]
[mm] $\,.$
[/mm]
Nun zu Deiner Behauptung:
Ist $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine natürliche Zahl, so definiere [mm] $k=k(n):=\left[\frac{n-1}{6}\right]\,.$ [/mm] Dabei bezeichne [mm] $[\,.\,]$ [/mm] die ![[]](/images/popup.gif) Gaußklammerfunktion.
Nach Definition von [mm] $[\,.\,]$ [/mm] gilt dann
[mm] $$(\star_1)\;\;\;k*6 \le [/mm] n-1 < (k+1)*6$$
(beachte: [mm] $k=\text{max} \left\{m \in \IN_0: \; m \le \frac{n-1}{6}\right\}=\text{max} \{m \in \IN_0: \; 6m+1 \le n\}$); [/mm] zudem ist $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] wegen $n [mm] \in \IN\,$ [/mm] und damit $(n-1) [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Setze nun [mm] $d=d(n):=n-6k\,.$ [/mm]
Was fehlt nun noch?
[mm] $(\star_2)$ [/mm] Zu zeigen bleibt nun nur noch, dass $d [mm] \in \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$ [/mm] gilt, dann bist Du fertig.
Tipp:
[mm] $(\star_2)$ [/mm] folgt aus [mm] $(\star_1)\,,$ [/mm] wenn man etwas genauer hinguckt!
Gruß,
Marcel
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Hi, danke dir für deine Ausführung. Auf die Gaussschreibweise wäre ich nicht gekommen.
An der Stelle kann ich dir nicht ganz folgen. Woher kommt jetz das m und wofür brauchen wir es? =)
> (beachte: [mm] $k=\text{max} \left\{m \in \IN_0: \; m \le \frac{n-1}{6}\right\}=\text{max} \{m \in \IN_0: \; 6m+1 \le n\}$); [/mm] zudem ist $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] wegen $n [mm] \in \IN\,$ [/mm] und damit $(n-1) [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Setze nun [mm] $d=d(n):=n-6k\,.$ [/mm]
Mit (*2) meinst du wohl:
d = n - 6k [mm] \Leftrightarrow [/mm] k = [mm] \frac{n-d}{6}
[/mm]
n - 1 < (k + 1 ) * 6
[mm] \Leftrightarrow [/mm] n - 1 [mm] <(\frac{n-d}{6} [/mm] + 1) * 6
[mm] \Leftrightarrow [/mm] d < 7
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 21.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:47 Di 22.12.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, danke dir für deine Ausführung. Auf die
> Gaussschreibweise wäre ich nicht gekommen.
>
> An der Stelle kann ich dir nicht ganz folgen. Woher kommt
> jetz das m und wofür brauchen wir es? =)
>
> > (beachte: [mm]k=\text{max} \left\{m \in \IN_0: \; m \le \frac{n-1}{6}\right\}=\text{max} \{m \in \IN_0: \; 6m+1 \le n\}[/mm]);
> zudem ist [mm]k \in \IN_0[/mm] wegen [mm]n \in \IN\,[/mm] und damit [mm](n-1) \in \IN_0\,.[/mm]
das folgt aus der Definition der Gaußklammer:
Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt per Definitionem: [mm] $[x]:=\text{max}\{z \in \IZ: z \le x\}\,.$ [/mm] Bei Dir ist $x=(n-1)/6 [mm] \ge [/mm] 0$ (wegen $n [mm] \in \IN$), [/mm] so dass $[x] [mm] \in \IN_0$ [/mm] ist, so dass [mm] $[(n-1)/6]=\text{max}\left\{z \in \IZ: z \le \frac{n-1}{6}\right\}=\text{max}\left\{m \in \IN_0: m \le \frac{n-1}{6}\right\}$ [/mm] geschrieben werden kann.
(In Worten: Ist $x [mm] \ge [/mm] 0$, so ist per Definitionem [mm] $[x]\,$ [/mm] zunächst die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich [mm] $x\,$ [/mm] ist, und diese stimmt dann aber mit der größten Zahl aus [mm] $\IN_0\;\;(=\IN \cup \{0\})$ [/mm] überein, die kleiner oder gleich [mm] $x\,$ [/mm] ist.)
> Setze nun [mm]d=d(n):=n-6k\,.[/mm]
>
>
>
> Mit (*2) meinst du wohl:
>
> d = n - 6k [mm]\Leftrightarrow[/mm] k = [mm]\frac{n-d}{6}[/mm]
> n - 1 < (k + 1 ) * 6
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] n - 1 [mm]<(\frac{n-d}{6}[/mm] + 1) * 6
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] d < 7
Ich meinte es eigentlich so:
Dass $d [mm] \in \IZ$ [/mm] ist, ist nach Definitionem von [mm] $d\,$ [/mm] klar (da [mm] $d=n-6k\,$ [/mm] und [mm] $n,\;6k \in \IZ$ [/mm] gilt). Ferner gelten wegen [mm] $(\star_1)$:
[/mm]
$$6k [mm] \le [/mm] n-1$$
[mm] $$\gdw$$ [/mm]
[mm] $$(I)\;\;\;1 \le \underbrace{n-6k}_{=d}\,,$$
[/mm]
also $d [mm] \ge [/mm] 1$
und
$$n-1 < (k+1)*6$$
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
[mm] $$(II)\;\;\; \underbrace{n-6k}_{=d} [/mm] < [mm] 6+1=7\,,$$
[/mm]
d.h. es ist $d [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
$$1 [mm] \underset{(I)}{\le}d\underset{(II)}{<}7\,,$$
[/mm]
woraus $d=d(n) [mm] \in \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$ [/mm] folgt (wobei $n [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig war).
Aber Deine Rechnung oben, um $d < [mm] 7\,$ [/mm] einzusehen, stimmt natürlich auch. Aber Du hättest noch $d [mm] \ge [/mm] 1$ zu begründen gehabt 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mo 21.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo miteinander.
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> Für meine Übungsaufgaben habe ich einen Beweis gemacht,
> der soweit auch funktioniert. Nur verwende ich während des
> Beweises eine Behauptung von mir, undzwar:
> Jede natürliche Zahl n lässt sich durch n = f(k) = 6k +
> d mit k [mm]\in \IN_0[/mm] und d [mm]\in \{1,2,3,4,5,6\}[/mm] darstellen.
>
> Meines Erachtens stimmt die Behauptung, nur würde ich sie
> gerne zur Absicherung beweisen. Mein erster Gedanke galt da
> der Induktion, nur verwende ich ja hier mehrere Unbekannte,
> und für sowas habe ich nie eine Induktion gemacht. Kann
> man sowas überhaupt mit Induktion beweisen?
Ja:
Induktionsanfang: Es ist 1 = 6k+d, mit k=0 und d=1.
Induktionsvor.: Es sei n [mm] \in \IN [/mm] und n =6k + d mit k $ [mm] \in \IN_0 [/mm] $ und d $ [mm] \in \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] $
Induktionsschluß: aus der Induktionsvor. folgt:
$n+1 = 6k + d +1$
Fall 1: d = 6. Dann: $n+1 = 6k + 6 +1= 6(k+1)+1= 6k'+d'$ mit $k' = k+1, d'=1$
Fall2 : d [mm] \le [/mm] 5. Dann: $n+1 = 6k + d +1= 6k+(d+1)= 6k+d'$ mit $d' = d+1$
FRED
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> Über Tipps, die o.g. Formel zu beweisen wäre ich sehr
> dankbar =)
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