Darstellung von Geraden < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geraden kann man auf 4 verschiedene Arten Darstellen:
- Parameterform
- Koordinatenform
- Normalenform (nur in [mm] \IR^2 [/mm] möglich)
- Hessesche Normalenform (nur in [mm] \IR^2 [/mm] möglich)
Meine Fragen:
Wieso ist die Normalenform und Hessesche Normalenform nur in [mm] \IR^2 [/mm] möglich ?
Was ist der Unterschied zwischen die Normalenform und Hessesche Normalenform? |
für die Normalenform gilt:
[mm] \vec{n}*[\vec{x}-\vec{a}]=0
[/mm]
Für die hessesche normalenform gilt:
[mm] \vec{n_0}*[\vec{x}-\vec{a}]=0
[/mm]
gegeben ist folgende gerade: 2x+3y=1
Die Normalenform lautet:
[mm] \vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0
[/mm]
Die Hesseform lautet:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{13}}\vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0
[/mm]
Das sind ja unterschiedliche Gleichung. Die Normalenform und Hessesche Normalenform beschreiben somit unterschiedliche geraden oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Mi 04.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Geraden kann man auf 4 verschiedene Arten Darstellen:
>
> - Parameterform
> - Koordinatenform
> - Normalenform (nur in [mm]\IR^2[/mm] möglich)
> - Hessesche Normalenform (nur in [mm]\IR^2[/mm] möglich)
>
> Meine Fragen:
>
> Wieso ist die Normalenform und Hessesche Normalenform nur
> in [mm]\IR^2[/mm] möglich ?
>
> Was ist der Unterschied zwischen die Normalenform und
> Hessesche Normalenform?
> für die Normalenform gilt:
>
> [mm]\vec{n}*[\vec{x}-\vec{a}]=0[/mm]
>
> Für die hessesche normalenform gilt:
>
> [mm]\vec{n_0}*[\vec{x}-\vec{a}]=0[/mm]
wobei hier der Vektor [mm] \vec{n_0} [/mm] Länge 1 hat, also [mm] |\vec{n_0}|=1
[/mm]
>
> gegeben ist folgende gerade: 2x+3y=1
>
> Die Normalenform lautet:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0[/mm]
>
> Die Hesseform lautet:
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{13}}\vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0[/mm]
>
> Das sind ja unterschiedliche Gleichung. Die Normalenform
> und Hessesche Normalenform beschreiben somit
> unterschiedliche geraden oder?
Nein, beide Formen stellen die gleiche Gerade dar !
Mach Dir klar: für [mm] x_1,x_2 \in \IR [/mm] gilt:
[mm]\vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]17*\vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]-3456*\vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm]\bruch{1}{\wurzel{13}}\vektor{2 \\ 3}*[\vektor{x_1 \\ x_2}-\vektor{1 \\ -\bruch{1}{3}}]=0[/mm]
........
Zu Deiner ersten Frage: die Normalenform einer Geraden im [mm] \IR^2 [/mm] lautet
$ [mm] \vec{n}\cdot{}[\vec{x}-\vec{a}]=0 [/mm] $
mit [mm] $\vec{n}, \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{x} \in \IR^2$
[/mm]
Sind nun [mm] \vec{n}, \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{x} [/mm] Elemente des [mm] \IR^3, [/mm] so beschreibt die Gleichung
$ [mm] \vec{n}\cdot{}[\vec{x}-\vec{a}]=0 [/mm] $
eine Ebene !
FRED
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Ich habe noch eine Frage zur Parameter- und Koordinatenform. gegeben ist die foglende Gerade in Koordinatenform:
g: [mm] x=\vektor{0 \\ \bruch{5}{3}}+\lambda*\vektor{1 \\ -\bruch{4}{3}}
[/mm]
Die Koordinatenform wäre:
[mm] 4x_1+3x_2=5
[/mm]
in der Parameterform kann man die Gerade durch den Faktor [mm] \lambda [/mm] beliebig verlängern. Kann man das auch in der Koordinatenform?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mi 04.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe noch eine Frage zur Parameter- und
> Koordinatenform. gegeben ist die foglende Gerade in
> Koordinatenform:
>
> g: [mm]x=\vektor{0 \\ \bruch{5}{3}}+\lambda*\vektor{1 \\ -\bruch{4}{3}}[/mm]
>
> Die Koordinatenform wäre:
>
> [mm]4x_1+3x_2=5[/mm]
>
> in der Parameterform kann man die Gerade durch den Faktor
> [mm]\lambda[/mm] beliebig verlängern.
Die Gerade kannst Du nicht verlängern ! Die Gerade ist die folgende Teilmenge des [mm] \IR^2:
[/mm]
[mm] \{\vektor{0 \\ \bruch{5}{3}}+\lambda*\vektor{1 \\ -\bruch{4}{3}}: \lambda \in \IR\}.
[/mm]
Vielleicht meinst Du mit "Verlängern" ein Verlängern oder Verkürzen des Richtungsvektors [mm] $\vec{v}=\vektor{1 \\ -\bruch{4}{3}}$
[/mm]
Ist $a [mm] \in\IR, [/mm] a [mm] \ne [/mm] 0$ und [mm] \vec{u}=a*\vec{v}, [/mm] so gilt
[mm] \{\vektor{0 \\ \bruch{5}{3}}+\lambda*\vektor{1 \\ -\bruch{4}{3}}: \lambda \in \IR\}=\{\vektor{0 \\ \bruch{5}{3}}+\mu*\vec{u}: \mu \in \IR\}.
[/mm]
> Kann man das auch in der
> Koordinatenform?
Dazu fällt mir nur ein
[mm] \{(x_1,x_2) \in \IR^2: 4x_1+3x_2=5\}= \{(x_1,x_2) \in \IR^2: 8x_1+6x_2=10\}= \{(x_1,x_2) \in \IR^2: -12x_1-9x_2=-15\}= [/mm] ........
FRED
>
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jetzt habe ich noch eine frage zur hesseschen normalenform. Es gilt ja:
$ [mm] \vec{n_0}\cdot{}[\vec{x}-\vec{a}]=0 [/mm] $
jetzt steht auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia:
In der hesseschen Normalform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene durch einen normierten und orientierten Normalenvektor [mm] {\vec n}_0 [/mm] der Geraden sowie ihren Abstand [mm] d\geq [/mm] 0 vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren [mm] \vec{x} [/mm] die Gleichung
[mm] \vec{x}\cdot{\vec n}_0=d [/mm]
erfüllen. Hierbei bezeichnet [mm] \cdot [/mm] das Skalarprodukt zweier Vektoren. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit der Geraden einen rechten Winkel bildet. Er muss die Länge [mm] |{\vec n}_0|=1 [/mm] besitzen und vom Koordinatenursprung in Richtung der Geraden zeigen, es muss also [mm] \vec{x}\cdot{\vec n}_0\geq{0} [/mm] gelten.
Demnach muss gelten:
[mm] d=\vec{n_0}*\vec{a}
[/mm]
Aber wieso ist das Skalarprodukt [mm] \vec{n_0}*\vec{a} [/mm] der Abstand zwischen Gerade und Koordinatenursprung? Außerdem Welcher Abstand ist genau gemeitn? gibt es doch unendlich viele Abstände von gerade bis zum Ursprung. Siehe folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> jetzt habe ich noch eine frage zur hesseschen normalenform.
> Es gilt ja:
>
> [mm]\vec{n_0}\cdot{}[\vec{x}-\vec{a}]=0[/mm]
>
>
> jetzt steht auf
> Wikipedia:
>
> In der hesseschen Normalform wird eine Gerade in der
> euklidischen Ebene durch einen normierten und orientierten
> Normalenvektor [mm]{\vec n}_0[/mm] der Geraden sowie ihren Abstand
> [mm]d\geq[/mm] 0 vom Koordinatenursprung beschrieben. Eine Gerade
> besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren
> Ortsvektoren [mm]\vec{x}[/mm] die Gleichung
>
> [mm]\vec{x}\cdot{\vec n}_0=d[/mm]
>
> erfüllen. Hierbei bezeichnet [mm]\cdot[/mm] das Skalarprodukt
> zweier Vektoren. Der Normalenvektor ist ein Vektor, der mit
> der Geraden einen rechten Winkel bildet. Er muss die Länge
> [mm]|{\vec n}_0|=1[/mm] besitzen und vom Koordinatenursprung in
> Richtung der Geraden zeigen, es muss also [mm]\vec{x}\cdot{\vec n}_0\geq{0}[/mm]
> gelten.
>
> Demnach muss gelten:
>
> [mm]d=\vec{n_0}*\vec{a}[/mm]
>
> Aber wieso ist das Skalarprodukt [mm]\vec{n_0}*\vec{a}[/mm] der
> Abstand zwischen Gerade und Koordinatenursprung? Außerdem
> Welcher Abstand ist genau gemeitn? gibt es doch unendlich
> viele Abstände von gerade bis zum Ursprung. Siehe
> folgendes Bild:
Hallo,
nein, es gibt nicht unendlich viele Abstände.
Der Abstand vom Ursprung zur Geraden ist der kürzeste Weg vom Ursrung zur Geraden, also orthogonal zur Geraden.
(Du mißt ja auch die Breite einer Straße nicht schräg, oder?)
Es ist
[mm] \vec{n_0}*\vec{a}=|\vec{n_0}|*|\vec{a}|*cos\angle (\vec{n_0},\vec{a})
[/mm]
[mm] =|\vec{a}|*cos\angle (\vec{n_0},\vec{a}),
[/mm]
und dies ist die Länge der Projektion von [mm] \vec{a} [/mm] auf [mm] \vec{n_0}, [/mm] also der Abstand vom Ursrung zur Geraden.
LG Angela
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:35 Do 05.05.2016 | | Autor: | Rebellismus |
Hallo,
also die Gleichung
[mm] \vec{x}\cdot{\vec n}_0=\vec{n_0}*\vec{a}=d
[/mm]
beschreibt den Absatnd von gerade zum ursprung. Wie bestimme ich mit der gleichung den Abstand zwischen gerade und einem beliebigen Punkt?
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die Frage hat sich erledigt
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Ich habe eine frage zu der folgenden Defiition:
In der Koordinatenform wird eine Gerade in der Ebene durch drei reelle Zahlen a, b und c über eine lineare Gleichung beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten (x,y) die Gleichung
[mm]a*x + b*y=c[/mm]
erfüllen. Hierbei muss a oder b ungleich null sein. Bei den Zahlen a und b handelt es sich um die Komponenten des Normalenvektors [mm] \vec{n}=(a,b) [/mm] der Geraden. Der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung wird durch [mm] |c|/|\vec{n}| [/mm] angegeben. Ist der Normalenvektor normiert, also ein Einheitsvektor, dann beträgt der Abstand gerade |c|.
Das Bild zur Definition
Meine Fragen:
Was genau beschreiben die reelle Zahlen a, b, c in der verlinkten Abbildung?
Wieso ist [mm] |c|/|\vec{n}| [/mm] der Abstand der Geraden vom Koordinatenursprung?
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Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich Deine Frage richtig verstanden habe.
Im Bild sehen wir die Gerade mit der Gleichung
[mm] y=-\bruch{1}{2}x+3
[/mm]
<==>
x+2y=6,
wir könnten sie aber auch als
[mm] \bruch{1}{2}x+y=3 [/mm] schreiben oder auch als 2x+4y=12,
in Normalenform wäre es [mm] \vektor{2\\4}\vec{x}-12=0, [/mm]
und damit sind wir wieder bei Deinem Bild.
Du siehst den Normalenvektor [mm] \vektor{2\\4}.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vektor{4\\1} [/mm] ist Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden,
denn er löst die Geradengleichung.
Und die Länge der Projektion dieses Vektors auf den Normalenvektor ist der Abstand der Gerade vom Ursprung.
Es ist [mm] 12=\vektor{2\\4}*\vektor{4\\1}=|\vektor{2\\4}|*\underbrace{|\vektor{4\\1}|*cos(eingeschlossener \quad Winkel)}_{Laenge \quad der \quad Projektion},
[/mm]
und damit hast Du es dann.
Bin mir aber nicht sicher, ob damit Deine Frage beantwortet ist.
LG Angela
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Hallo,
>
> in Normalenform wäre es [mm]\vektor{2\\4}(\vec{x}-12)=0,[/mm]
Hier subtrahierst du den Vektor [mm] \vec{x} [/mm] mit der reellen zahl 12. Aber man kann Vektoren nicht mit einer reellen zahl addieren oder subtrahieren.
Aber meine Frage wurde beantwortet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Do 05.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> >
> > in Normalenform wäre es [mm]\vektor{2\\4}(\vec{x}-12)=0,[/mm]
>
> Hier subtrahierst du den Vektor [mm]\vec{x}[/mm] mit der reellen
> zahl 12. Aber man kann Vektoren nicht mit einer reellen
> zahl addieren oder subtrahieren.
da hat Angela Klammern spendiert, wo keine hingehören.
Mach also die Klammern weg,dann passt es
fred
>
> Aber meine Frage wurde beantwortet.
>
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![[]](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Line_equation_qtl5.svg){kind=small}
Das Bild zur Definition