Darstellungsmatrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo, die Aufgabenstellung lautet:
Es sei F : [mm] \IR^3 \mapsto \IR^2 [/mm] eine lineare Abbildung mit der Darstellungsmatrix [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }.
[/mm]
Seien f, g : [mm] \IR^2 \mapsto \IR [/mm] die Linearformen
f(x, y) = x + y, und g(x, y) = x − y .
Bestimmen Sie die Linearformen F*(f), F*(g) : [mm] \IR^3 \mapsto \IR. [/mm] |
Also hier kann ich mir unter der Aufgabenstellung was vorstellen, falls mit F* die 3 Linearformen [mm] f_1(f_1), f_1(f_2) [/mm] und [mm] f_1(f_3) [/mm] und das gleiche dann mit [mm] g_1, g_2 [/mm] und [mm] g_3 [/mm] gemeint ist.
Oder anders: Was wollen die in dieser Aufgabenstellung von mir?
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:40 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Sagt Dir der Begriff "duale Abbildung" oder dualer Operator" etwas ?
F* ist der zu F duale Operator
FRED
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| Aufgabe | | Duale Basis sagt mir schon was, aber was genau kann ich hier damit anfangen? |
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:40 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Linearform F*(f) ist eine auf dem [mm] R^3 [/mm] def. Linearform und gegeben durch
(F*(f))(x,y,z) = f(F(x,y,z)).
Kannst Du damit etwas anfangen ?
FRED
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| Aufgabe | | Nein. Also wir hatten bisher von 3 Basisvektoren in [mm] \IR^3 [/mm] die Dualbasis also die 3 Linearformen der Dualbasis errechnet. Ist das sowas ähnliches? |
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Du hast in diesem Forum eine weitere Frage gestellt, in der F* vorkommt.
Ich denke , Du mußt in Vorlesungen schon davon gehört haben
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Warum rechnest Du nicht einfach mal das aus, was ich Dir vorgeschlagen habe ???????????????????????????
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 22.05.2008 | | Autor: | strom |
Hallo,
ich habe dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und nun eine Frage zu dem Tip.
Ich habe die rechte Seite der Formel nachgerechnet
>
> (F*(f))(x,y,z) = f(F(x,y,z)).
>
und auch was rausbekommen. Und das Ergebnis sollte meine gesuchte Antwort sein.
Wie komme ich nun aber auf die Gleichung? Es müsste doch möglich sein, auch die Linke Seite zu berechnen.
Mein Ansatz zu der Aufgabe war, erst über die Abbildung F*zu gehen und diese dann auf f anzuwenden. Da bin ich dann aber stecken geblieben, weil ich nicht wusste, wie ich die Abbildungsmatrix von F* auf f anwenden soll.
Ich weiß das die Darstellungsmatrix von F* gleich der transponierten Matrix von F ist, also
F* [mm] =\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 1 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
Wie aber wende ich das nun auf f an?
Hab ich einfach nur einen Denkfehler drin?
Danke für die Hilfe
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> Hallo,
>
> ich habe dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und nun eine Frage
> zu dem Tip.
> Ich habe die rechte Seite der Formel nachgerechnet
> >
> > (F*(f))(x,y,z) = f(F(x,y,z)).
> >
> und auch was rausbekommen. Und das Ergebnis sollte meine
> gesuchte Antwort sein.
> Wie komme ich nun aber auf die Gleichung? Es müsste doch
> möglich sein, auch die Linke Seite zu berechnen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mal schauen, ob ich Dein Problem richtig verstehe.
F*(f) ist eine Linearform auf dem [mm] \IR^3, [/mm] also [mm] F*(f):\IR^3 \to \IR.
[/mm]
Du müßtest jetzt also so etwas dastehen haben:
(F*(f))(x,y,z):=a_xx+a_yy+a_zz, [mm] a_x, a_y, a_z \in \IR,
[/mm]
das ist ja eine völlig übliche und befriedigende Angabe, und ich halte die Aufgabe damit für gelöst.
> Mein Ansatz zu der Aufgabe war, erst über die Abbildung
> F*zu gehen und diese dann auf f anzuwenden. Da bin ich dann
> aber stecken geblieben, weil ich nicht wusste, wie ich die
> Abbildungsmatrix von F* auf f anwenden soll.
>
> Ich weiß das die Darstellungsmatrix von F* gleich der
> transponierten Matrix von F ist, also
>
> F* [mm]=\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
2 & 1 \\
3 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie aber wende ich das nun auf f an?
>
> Hab ich einfach nur einen Denkfehler drin?
Nein, einen Fehler gibt es bis dorthin nicht, vielleicht eine Gedankenlücke.
Es ist $ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 } [/mm] $ die darstellende Matrix [mm] _{E_2}M_{E_3}(F) [/mm] von F bzgl. der Standardbasen [mm] E_3 [/mm] bzw. [mm] E_2 [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR^2.
[/mm]
Die transponierte Matrix ist die Darstellungsmatrix von F* bzgl der zu [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] dualen Basen [mm] E^{\*}_3 [/mm] und [mm] E^{\*}_2, [/mm] also [mm] _{E^{\*}_3}M_{E^{\*}_2}(F^{\*}). [/mm] Ich denke, daß dies das vergessene Mosaiksteinchen ist.
Wenn Du diese transponierte Matrix auf f anwenden willst, mußt Du zunächst f als Koordinatenvektor bzgl. [mm] E^{\*}_2 [/mm] schreiben.
Das Ergebnis dieser Multiplikation ist ein Spaltenvektor mit drei Einträgen. Er liefert F*(f) in Koordinaten bzgl. [mm] E^{\*}_3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 23.05.2008 | | Autor: | strom |
Hallo,
Erstmal danke für den Hinweis.
Ich hab jetzt versucht f in eine Koordinatenvektor umzurechnen und diesen dann auf $ [mm] _{E^*_3}M_{E^*_2}(F^*) [/mm] $ anzuwenden.
Dafür hab ich mir erstmal die Dualbasen mit Hilfe des Kroneckersymbols berechnet und rausbekommen, dass [mm] {E^*_3}=E_3 [/mm] und [mm] {E^*_2}=E_2 [/mm] ist.
(Irgendwie macht der aus meinem * in den Formeln immer einen Punkt.)
Stimmt das so?
Um den Koordinatenvektor bzgl. E*_2 zu bekommen, müsste meine Rechnung doch so aussehen:
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x ' \\ y ' \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x ' \\ y ' \end{pmatrix}
[/mm]
wobei letzteres dann mein Koordinatenvektor ist.
Wenn ich den nun auf die Abbildungsmatrix von F* anwende, erhalte ich folgenden Vektor:
[mm] \begin{pmatrix} x ' + y ' \\ 2x ' + y ' \\ 3x ' + 2y ' \end{pmatrix}
[/mm]
Stimmt das alles so, oder hab ich das nicht richtig verstanden?
Und wie komme ich nun vom Koordinatenvektor wieder auf die Linearform?
Grüße von strom
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> Ich hab jetzt versucht f in eine Koordinatenvektor
> umzurechnen und diesen dann auf [mm]_{E^*_3}M_{E^*_2}(F^*)[/mm]
> anzuwenden.
> Dafür hab ich mir erstmal die Dualbasen mit Hilfe des
> Kroneckersymbols berechnet und rausbekommen, dass
> [mm]{E^*_3}=E_3[/mm] und [mm]{E^*_2}=E_2[/mm] ist.
> (rgendwie macht der aus meinem * in den Formeln immer
> einen Punkt.)
> Stimmt das so?
Hallo,
den Stern bekommst Du, wenn Du einen backslash davor setzt.
Ich bin mir nicht sicher, ob Du die duale Basis richtig verstanden hast.
Es können ja nicht [mm] E^{\*}_2 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] gleich sein, denn die Elemente in [mm] E^{\*}_2 [/mm] sind ja Linearformen.
Es sind in [mm] E^{\*}_2 [/mm] die beiden Linearformen [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] mit
[mm] b_1(e_1):=1
[/mm]
[mm] b_1(e_2):=0
[/mm]
[mm] b_2(e_1):=0
[/mm]
[mm] b_2(e_2):=1,
[/mm]
wobei die [mm] e_i [/mm] die Einheitsvektoren aus [mm] E_2 [/mm] sind.
Du mußt nun f schreiben als [mm] kb_1+lb_2,
[/mm]
es ist dann [mm] \vektor{k \\ l} [/mm] der Koordinatenvektor von f bzgl. [mm] E^{\*}_2.
[/mm]
Wenn Du den mit der Matrix zu [mm] F^{\*} [/mm] multiplizierst, bekommst Du einen Vektor völlig ohne x und y.
Ich hatte ja schon gesagt, daß das der Koordinatenvektor bzgl der zu [mm] E_3 [/mm] dualen Basis ist.
Gruß v. Angela
>
> Um den Koordinatenvektor bzgl. E*_2 zu bekommen, müsste
> meine Rechnung doch so aussehen:
> [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x ' \\ y ' \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} x ' \\ y ' \end{pmatrix}[/mm]
> wobei letzteres
> dann mein Koordinatenvektor ist.
>
> Wenn ich den nun auf die Abbildungsmatrix von F* anwende,
> erhalte ich folgenden Vektor:
> [mm]\begin{pmatrix} x ' + y ' \\ 2x ' + y ' \\ 3x ' + 2y ' \end{pmatrix}[/mm]
>
> Stimmt das alles so, oder hab ich das nicht richtig
> verstanden?
>
> Und wie komme ich nun vom Koordinatenvektor wieder auf die
> Linearform?
>
> Grüße von strom
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 So 25.05.2008 | | Autor: | strom |
Hallo,
Danke für die Hilfe.
Grüße von strom
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> Hallo, die Aufgabenstellung lautet:
> Es sei F : [mm]\IR^3 \mapsto \IR^2[/mm] eine lineare Abbildung mit
> der Darstellungsmatrix [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2 }.[/mm]
>
> Seien f, g : [mm]\IR^2 \mapsto \IR[/mm] die Linearformen
> f(x, y) = x + y, und g(x, y) = x − y .
>
> Bestimmen Sie die Linearformen F*(f), F*(g) : [mm]\IR^3 \mapsto \IR.[/mm]
> Oder anders: Was wollen die in dieser Aufgabenstellung von
> mir?
Hallo,
die wollen von Dir, daß Du sagst:
[mm] F^{\*}(f)\vektor{x \\ y\\z}=... [/mm] und [mm] F^{\*}(g)\vektor{x \\ y\\z}=...
[/mm]
Auch hier gilt das, was ich an anderer Stelle gesagt hatte, und wozu auch fred97 Dich versucht zu motivieren:
Sieh zu, daß Du das Material sichtest.
Egal, ob Du in der Vorlesung warst oder nicht, egal, ob Du in der Vorlesung bemerkt hast, daß über den dualen (manchmal auch: transponierten) Homomorphismus gesprochen wurde - in dem Moment, wo das in der Aufgabe vorkommt, mußt Du es herbeischaffen.
Sprich: Buch, Mitschrift, Internet oder was weiß ich zu Rate ziehen.
Ich kann hier nur von mir sprechen: ich bin ständig dabei, irgendetwas nachzuschlagen, von dem ich nur noch "irgendwie so halb" weiß, was da ist.
Klar, wenn Du irgendwelche Definitionen nicht verstehst, wird Dir hier sicher gern geholfen, aber das an-Land-Ziehen der Definitionen sollte Deine Arbeit sein.
Du mußt Dich hier beschäftigen mit F*.
Wie ist das definiert, zwischen welchen Räumen wird hier abgebildet? Was sind das für Räume, welche "Objekte" sind da drin?
Der nächste Punkt, den ich dann prüfen würde, wäre: ist F*(f) bzw. F*(g) sinnvoll, ist es also sinnvoll F* auf f und g anzuwenden. Wenn ja: was ist das? Was ist F*(f) für ein Objekt (Zahl?, 2-Tupel?, 3-Tupel?, Abbildung?, Menge?, Fensterrahmen?).
Wenn das klar ist, kann's mit der eigentlichen Lösung der Aufgabe losgehen.
Gruß v. Angela
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