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| Aufgabe | Es sei V ein Vektorraum über R mit Dimension 3 und [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] eine Basis von V . Ferner seien
[mm] w_{1} [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] + 2* [mm] v_{2} [/mm] , [mm] w_{2} [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] + 2* [mm] v_{3} [/mm] , [mm] w_{3} [/mm] = [mm] v_{1}
[/mm]
a) Überprüfen Sie, dass [mm] (w_{1}, w_{2}, w_{3}) [/mm] ebenfalls eine Basis von V bildet.
b) Sei nun weiter F eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis [mm] (v_{1}, v_{2}, v_{3}) [/mm] die Darstellungsmatrix
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 &1} [/mm]
besitzt. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A´ von F bezüglich der Basis [mm] (w_{1}, w_{2}, w_{3}).
[/mm]
Lösung: A´ = [mm] \pmat{ 5 & 4 & 2 \\ \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ - \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} & - \bruch{3}{2} } [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Den ersten Teil kann ich lösen und habe damit auch kein Problem, allerdings komme ich bei b) einfach nicht weiter. Vielleicht habe ich ja ein Brett vorm Kopf, aber allein wenn ich mir die Lösung anschaue, kommt keiner meiner Ansätze in Betracht, da ja [mm] w_{3} [/mm] = [mm] v_{1} [/mm] ist und damit (so wie ich die Darstellungsmatrix verstanden habe) ja eine Spalte der Matrix ja gleich einer Spalte der Ursprungsmatrix sein muss, da ja die gleichen Vektoren zugrunde liegen.
Habe schon nach Darstellungsmatrix etc bei Google gesucht und auch viel gefunden, aber immer sind die Basen bekannt und das ist in meinem Fall ja gerade nicht gegeben. So sehe ich mich einer unbekannten Abbildung, unbekannten Basen und einer unbekannten Matrix gegenüber und bekomme die mit den vorhandenen Werten einfach nicht in Einklang.
Schon mal danke für die Hilfe und falls es doch unter einem anderen Namen irgendwo besprochen wurde, reicht auch erstmal nen Link :)
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> Es sei V ein Vektorraum über R mit Dimension 3 und [mm](v_{1}, v_{2}, v_{3})[/mm]
> eine Basis von V . Ferner seien
> [mm]w_{1}[/mm] = [mm]v_{1}[/mm] + 2* [mm]v_{2}[/mm] , [mm]w_{2}[/mm] = [mm]v_{1}[/mm] + 2* [mm]v_{3}[/mm] ,
> [mm]w_{3}[/mm] = [mm]v_{1}[/mm]
>
> a) Überprüfen Sie, dass [mm](w_{1}, w_{2}, w_{3})[/mm] ebenfalls
> eine Basis von V bildet.
>
> b) Sei nun weiter F eine lineare Abbildung, die bezüglich
> der Basis [mm](v_{1}, v_{2}, v_{3})[/mm] die Darstellungsmatrix
> A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 1 &1}[/mm]
> besitzt. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix A´ von F
> bezüglich der Basis [mm](w_{1}, w_{2}, w_{3}).[/mm]
>
> Lösung: A´ = [mm]\pmat{ 5 & 4 & 2 \\ \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} & \bruch{1}{2} \\ - \bruch{3}{2} & \bruch{3}{2} & - \bruch{3}{2} }[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Den ersten Teil kann ich lösen und habe damit auch kein
> Problem, allerdings komme ich bei b) einfach nicht weiter.
> Vielleicht habe ich ja ein Brett vorm Kopf, aber allein
> wenn ich mir die Lösung anschaue, kommt keiner meiner
> Ansätze in Betracht, da ja [mm]w_{3}[/mm] = [mm]v_{1}[/mm] ist und damit (so
> wie ich die Darstellungsmatrix verstanden habe) ja eine
> Spalte der Matrix ja gleich einer Spalte der
> Ursprungsmatrix sein muss, da ja die gleichen Vektoren
> zugrunde liegen.
>
> Habe schon nach Darstellungsmatrix etc bei Google gesucht
> und auch viel gefunden, aber immer sind die Basen bekannt
> und das ist in meinem Fall ja gerade nicht gegeben. So sehe
> ich mich einer unbekannten Abbildung, unbekannten Basen und
> einer unbekannten Matrix gegenüber und bekomme die mit den
> vorhandenen Werten einfach nicht in Einklang.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
So unbekannt ist das alles nicht.
Du hast eine Basis [mm] B_v=(v_1, v_2, v_3) [/mm] die vorgegeben - also bekannt! - ist. Aud diese bezieht sich alles.
Auch die Basis [mm] B_w=(w_1, w_2, w_3) [/mm] kennst Du sehr genau, denn es ist ja angegeben, wie die [mm] w_i [/mm] aus den Basisvektoren von [mm] B_v [/mm] hervorgehen.
Von der Abbildung F hast Du die Matrix angegeben, welche die Abbildung bzgl. der Basis [mm] B_v [/mm] beschreibt, oft wird diese Matrix mit [mm] _{B_v}M__{B_v}(F) [/mm] bezeichnet.
Um zu erkennen, was diese Matrix erzählt, muß man natürlich ein bißchen was über darstellende Matrizen wissen.
In den Spalten stehen jeweils die Bilder der Basisvektoren der Startbasis in Koordinaten der Zielbasis. Bei Dir sind Start- und Zielbasis gleich.
Die erste Spalte der Matrix sagt:
[mm] f(v_1)=\vektor{1\\4\\1}_{(B_v)} =1*v_1+4*v_2+1*v_3, [/mm]
für die anderen Spalten entsprechend.
Um nun die erste Spalte von [mm] _{B_w}M__{B_w}(F) [/mm] zu finden, mußt Du [mm] F(w_1) [/mm] ausrechnen, das gelingt Dir, indem Du [mm] F(w_1)=F($ v_{1} [/mm] $ + 2* $ [mm] v_{2} [/mm] $) verwendest und die Linearität der Abbildung beachtest.
Du wirst hier am Ende eine Linearkombination der [mm] v_i [/mm] haben, welche Du dann als Linearkombination der [mm] w_i [/mm] schreiben mußt. Die Koeffizienten der [mm] w_i [/mm] werden dann in die erste Spalte der gesuchten Matrix gestapelt.
Für die beiden anderen Spalten entsprehend.
Ich habe dir hier den Weg geschildert, bei dem man ein wenig versteht, was man tut.
Du kannst natürlich auch mit den Basistransformationsmatrizen arbeiten.
Es ist [mm] _{B_w}M__{B_w}(F) [/mm] = [mm] _{B_w} T_{B_v}*_{B_v}M__{B_v}(F)*_{B_v} T_{B_w}.
[/mm]
[mm] _{B_v} T_{B_w} [/mm] ist die Matrix, in deren Spalten die Basisvektoren von [mm] B_w [/mm] in Koordinaten bzgl [mm] B_v [/mm] stehen, die erste Spalte wäre [mm] \vektor{1\\2\\0}. [/mm] Diese matrix liefert für vektoren, die bzgl [mm] B_w [/mm] hineingesteckt werden, deren Koordinatendarstellung bzgl [mm] B_v.
[/mm]
[mm] _{B_w} T_{B_v} [/mm] in das Inverse der zuvor beschriebenen Matrix, sie liefert für vektoren, die bzgl. [mm] B_v [/mm] hineingesteckt werden, die darstellung bzgl. [mm] B_w.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Vielen Dank, so kommt es hin und ich verstehe es auch. Ist gar nicht so schwer, wenn man einmal jemanden hat, der es einem "umgangssprachlich" erklärt.
Nochmal vielen Dank, Frage ist beantwortet :)
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