Darstellungsmatrix berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] A=(\vektor{1 \\ 2},\vektor{-1 \\ 1})
[/mm]
[mm] B=(\vektor{0 \\ 1 \\ -1},\vektor{2 \\ 1 \\ 0},\vektor{3 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
[mm] C=(e^\pi)
[/mm]
a) [mm] f:\IR^2\to \IR, \vektor{x \\ y}\mapsto x-\bruch{y}{2}. [/mm] berechne die Darstellungsmatrix [mm] M_C^A(f)
[/mm]
[mm] b)g:\IR^2\to \IR^3, \bruch{x}{y}\mapsto \vektor{x+y \\ x-y \\ 2x}. [/mm] Berechne die Darstellungsmatrix [mm] M_B^A(g). [/mm] |
Könnt ihr mir Tipps geben wie ich diese Darstellungsmatrizen berechnen kann?
Was mich hierbei "stört" sind die Abbildungen. Die halten mich von meinen ersten Rechenschritten ab, weil ich nicht weiß wie ich damit rechnen kann/muss.
Über Tipps wäre ich dankbar!
MfG
mathegirl
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> [mm]A=(\vektor{1 \\
2},\vektor{-1 \\
1})[/mm]
>
> [mm]B=(\vektor{0 \\
1 \\
-1},\vektor{2 \\
1 \\
0},\vektor{3 \\
-1 \\
2}[/mm]
>
> [mm]C=(e^\pi)[/mm]
>
> a) [mm]f:\IR^2\to \IR, \vektor{x \\
y}\mapsto x-\bruch{y}{2}.[/mm]
> berechne die Darstellungsmatrix [mm]M_C^A(f)[/mm]
>
> [mm]b)g:\IR^2\to \IR^3, \bruch{x}{y}\mapsto \vektor{x+y \\
x-y \\
2x}.[/mm]
> Berechne die Darstellungsmatrix [mm]M_B^A(g).[/mm]
>
> Könnt ihr mir Tipps geben wie ich diese
> Darstellungsmatrizen berechnen kann?
Hallo,
lerne dieses Sprüchlein auswendig:
In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] M^R_S(h) [/mm] von h bzgl der Basen R im Urbildraum und S im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von R in Koordinaten bzgl. S.
Was bedeutet dies für Augabe a)?
Sag nun erstmal das Sprüchlein auf (und schreib dies auch hin) mit den Bezeichnungen aus a).
Und dann tu das, was das Sprüchlein sagt.
Gruß v. Angela
>
> Was mich hierbei "stört" sind die Abbildungen. Die halten
> mich von meinen ersten Rechenschritten ab, weil ich nicht
> weiß wie ich damit rechnen kann/muss.
>
> Über Tipps wäre ich dankbar!
>
> MfG
> mathegirl
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okay, dann müsste ich folgendermaßen anfangen:
[mm] f\vektor{1 \\ 2}=x-\bruch{y}{2}=0
[/mm]
[mm] f\vektor{-1 \\ 1}=x-\bruch{y}{2}=-\bruch{3}{2}
[/mm]
Und dann muss ich doch die Vektoren von B einsetzen oder?
Zu deinem Sprüchlein, das muss für meine Aufgabe dann lauten:
In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm] M_C^A [/mm] von f bzgl der Basen a im Urbildraum und B im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren vonA in Koordinaten bzgl.B.
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> okay, dann müsste ich folgendermaßen anfangen:
>
> [mm]f\vektor{1 \\ 2}=x-\bruch{y}{2}=0[/mm]
> [mm]f\vektor{-1 \\ 1}=x-\bruch{y}{2}=-\bruch{3}{2}[/mm]
So weit stimmts
>
> Und dann muss ich doch die Vektoren von B einsetzen oder?
Unfug ! Wir sind doch bei a). Da war doch die Basis im Bildbereich [mm] $C=(e^{\pi})$
[/mm]
>
> Zu deinem Sprüchlein, das muss für meine Aufgabe dann
> lauten:
>
> In den Spalten der Darstellungsmatrix [mm]M_C^A[/mm] von f bzgl der
> Basen a im Urbildraum und B im Bildraum stehen die Bilder
> der Basisvektoren vonA in Koordinaten bzgl.B.
Nein. Für a):
.......der Basen A im Urbildraum und C im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von A in Koordinaten bzgl.C.
Die Vektoren in A nenne ich mal [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] und es sei [mm] c:=e^{\pi}
[/mm]
Berechne [mm] s_1 [/mm] uns [mm] s_2 [/mm] so, dass [mm] $f(a_1)=s_1*c$ [/mm] und [mm] $f(a_2)=s_2*c$
[/mm]
Dann ist [mm]M_C^A=(s_1 ~~s_2)[/mm]
FRED
>
> MfG
> mathegirl
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Di 13.12.2011 | | Autor: | davux |
Zuerst berechnet man die Bilder der Basisvektoren von A
[mm] $f(\pmat{1\\2})=1-\bruch{2}{2}=1-1=0$
[/mm]
[mm] $f(\pmat{-1\\1})=-1-\bruch{1}{2}=-\bruch{3}{2}$
[/mm]
Diese stellt man nun als Linearkombinationen der Basisvektoren von C dar
[mm] $0=s_1 e^\pi \Rightarrow s_1=0$
[/mm]
[mm] $-\bruch{3}{2}=s_2 e^\pi \gdw s_2=-\bruch{3}{2e^\pi}$
[/mm]
Die Koeffizienten aus den Linearkombinationen ergeben nun die Abbildungsmatrix
[mm] $M_C^A(f)=\pmat{0&-\bruch{3}{2e^\pi}}$
[/mm]
Hier sollte man auf Zeilen und Spalten achten und auch erklären können, warum [mm] $M_C^A(f)$ [/mm] eine Zeile und nicht eine Spalte ist, aber da bin ich mir noch nicht so ganz sicher. Also im Grunde hat die Basis C ein Element, d.h. es stellt sich jedes Element auf das mit f abgebildet wird derart dar. Letztendlich möchte man [mm] $\pmat{x\\y}\in\IR^2$ [/mm] mit dieser Matrix multiplizieren um so das Bild zu erhalten. Das würde ich jetzt darauf zurückführen, wann man Matrizen multiplizieren darf.
Könnte das nochmal jemand erklären, bitte?
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> Zuerst berechnet man die Bilder der Basisvektoren von A
>
> [mm]f(\pmat{1\\
2})=1-\bruch{2}{2}=1-1=0[/mm]
> [mm]f(\pmat{-1\\
1})=-1-\bruch{1}{2}=-\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Diese stellt man nun als Linearkombinationen der
> Basisvektoren von C dar
>
> [mm]0=s_1 e^\pi \Rightarrow s_1=0[/mm]
> [mm]-\bruch{3}{2}=s_2 e^\pi \gdw s_2=-\bruch{3}{2e^\pi}[/mm]
>
> Die Koeffizienten aus den Linearkombinationen ergeben nun
> die Abbildungsmatrix
>
> [mm]M_C^A(f)=\pmat{0&-\bruch{3}{2e^\pi}}[/mm]
Hallo,
ja richtig.
Das Format der Matrix ergibt sich aus den Dimensionen der beteiligten Räume.
Sagen wir mal, wir bilden mit einer linearen Abbildung f aus einem Vektorraum V der Dimension 5 mit der Basis B in einen VR W der Dimension 3 mit der Basis C ab.
Die Vektoren aus V sind als Koordinatenvektoren bzgl B geschrieben Spalten mit 5 Einträgen, die aus W in Koordinaten bzgl C solche mit 3 Einträgen.
Die Matrix [mm] M^B_C(f) [/mm] soll nun bei Multiplikation mit Koordinatenvektoren bzgl B deren Bild bzgl C liefern.
Weil die Vektoren, mit denen multipliziert wird, Spalten vektoren mit 5 Einträgen sind, muß die Matrix 5 Spalten haben, sonst funktioniert ja die Multiplikation nicht.
Und weil das Ergebnis ein Spaltenvektor mit 3 Einträgen sein muß, kann es nicht anders sein, als daß die Matrix 3 Zeilen hat.
Der Grund liegt also in den Dimensionen der beteiligten Räume und darin, wie halt die Multiplikation von Matrizen funktioniert.
Ich glaube, das hattest Du auch schon begriffen.
(Daß es für die Diensionen m und n ebenso gilt, düfte ja wohl klar sein.)
Gruß v. Angela
>
> Hier sollte man auf Zeilen und Spalten achten und auch
> erklären können, warum [mm]M_C^A(f)[/mm] eine Zeile und nicht eine
> Spalte ist, aber da bin ich mir noch nicht so ganz sicher.
> Also im Grunde hat die Basis C ein Element, d.h. es stellt
> sich jedes Element auf das mit f abgebildet wird derart
> dar. Letztendlich möchte man [mm]\pmat{x\\
y}\in\IR^2[/mm] mit
> dieser Matrix multiplizieren um so das Bild zu erhalten.
> Das würde ich jetzt darauf zurückführen, wann man
> Matrizen multiplizieren darf.
>
> Könnte das nochmal jemand erklären, bitte?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> Die Vektoren in A nenne ich mal [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] und es sei
> [mm]c:=e^{\pi}[/mm]
>
> Berechne [mm]s_1[/mm] uns [mm]s_2[/mm] so, dass [mm]f(a_1)=s_1*c[/mm] und
> [mm]f(a_2)=s_2*c[/mm]
und bei Aufgabe b) rechne ich dann wie? Definiere ich mir [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] als zwei beliebige Vektoren aus B? Also z.B. [mm] b_1 [/mm] := [mm] \vektor{2\\1\\0} [/mm] und [mm] b_2 [/mm] := [mm] \vektor{3\\-1\\2} [/mm] .
LG
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Hallo Fincayra,
> Hi
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> > Die Vektoren in A nenne ich mal [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm] und es sei
> > [mm]c:=e^{\pi}[/mm]
> >
> > Berechne [mm]s_1[/mm] uns [mm]s_2[/mm] so, dass [mm]f(a_1)=s_1*c[/mm] und
> > [mm]f(a_2)=s_2*c[/mm]
>
> und bei Aufgabe b) rechne ich dann wie? Definiere ich mir
> [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] als zwei beliebige Vektoren aus B? Also z.B.
> [mm]b_1[/mm] := [mm]\vektor{2\\1\\0}[/mm] und [mm]b_2[/mm] := [mm]\vektor{3\\-1\\2}[/mm] .
>
Berechne die Bilder der Basisvektoren der Basis A durch g ab,
und stelle diese Bilder als Linearkombination von Vektoren aus der Basis B dar.
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 14.12.2011 | | Autor: | Fincayra |
Hi
> Berechne die Bilder der Basisvektoren der Basis A durch g
> ab,
> und stelle diese Bilder als Linearkombination von Vektoren
> aus der Basis B dar.
Aber genau das ist doch meine Frage. Ich hab f(a), also $f( [mm] \vektor{1\\2} [/mm] )$ und $f( [mm] \vektor{-1\\1} [/mm] ) $ Aber damit hab ich nur zwei Werte. Bei der a) ließen sich diese beiden darstellen durch s [mm] \cdot [/mm] c , wobei $c [mm] :=e^\pi [/mm] $ [mm] \in [/mm] C Aber ich hab ja bei der b) 3 Werte für b, denn [mm] B=(\vektor{0\\1\\-1}, \vektor{2\\1\\0}, \vektor{3\\-1\\2}). [/mm] Deshalb meine Frage, ob ich mir jetzt zwei aussuche?
LG
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Hallo Fincayra,
> Hi
>
> > Berechne die Bilder der Basisvektoren der Basis A durch g
> > ab,
> > und stelle diese Bilder als Linearkombination von
> Vektoren
> > aus der Basis B dar.
>
> Aber genau das ist doch meine Frage. Ich hab f(a), also [mm]f( \vektor{1\\2} )[/mm]
> und [mm]f( \vektor{-1\\1} )[/mm] Aber damit hab ich nur zwei Werte.
> Bei der a) ließen sich diese beiden darstellen durch s
> [mm]\cdot[/mm] c , wobei [mm]c :=e^\pi[/mm] [mm]\in[/mm] C Aber ich hab ja bei der b)
> 3 Werte für b, denn [mm]B=(\vektor{0\\1\\-1}, \vektor{2\\1\\0}, \vektor{3\\-1\\2}).[/mm]
> Deshalb meine Frage, ob ich mir jetzt zwei aussuche?
>
Nein.
Die Gleichungen, die dann zu lösen sind, sind folgende:
[mm]f\left( \vektor{1\\2} \right)=\alpha_{1}*\vektor{0\\1\\-1}+\alpha_{2}*\vektor{2\\1\\0}+\alpha_{3}*\vektor{3\\-1\\2}[/mm]
[mm]f\left( \vektor{-1\\1}\right)= \beta_{1}*\vektor{0\\1\\-1}+\beta_{2}*\vektor{2\\1\\0}+\beta_{3}*\vektor{3\\-1\\2}[/mm]
> LG
Gruss
MathePower
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DAs verstehe ich jetzt nicht....muss ich nicht abbilden auf [mm] \pmat{ x+y \\ x-y \\ 2x }?
[/mm]
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> DAs verstehe ich jetzt nicht....muss ich nicht abbilden auf
> [mm]\pmat{ x+y \\ x-y \\ 2x }?[/mm]
Ist das die Möglichkeit ? Wie oft haben ich und viele andere, insbesondere Angela, Dir erzählt, wie man eine Abildungsmatrix fabriziert ? Tausendfach !
Erst vorgestern hat Angela Dir ein hilfreiches Sprüchlein ans Herz gelegt. Fruchtet das gar nicht ? Mathepower hats nochmal gesagt:
Berechne [mm] \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2, \beta_3 [/mm] so, dass gilt:
$ [mm] f\left( \vektor{1\\2} \right)=\alpha_{1}\cdot{}\vektor{0\\1\\-1}+\alpha_{2}\cdot{}\vektor{2\\1\\0}+\alpha_{3}\cdot{}\vektor{3\\-1\\2} [/mm] $
$ [mm] f\left( \vektor{-1\\1}\right)= \beta_{1}\cdot{}\vektor{0\\1\\-1}+\beta_{2}\cdot{}\vektor{2\\1\\0}+\beta_{3}\cdot{}\vektor{3\\-1\\2} [/mm] $
Dann sieht die gesuchte Matrix so aus:
[mm] \pmat{ \alpha_1 & \beta_1 \\ \alpha_2 & \beta_2 \\ \alpha_3 & \beta_3}
[/mm]
Wenn ich Dich nach einem Rezept für Grießbrei frage und Du gibts mir eines, dann würdest Du mich doch für plemplem halten, wenn ich innerhalb von einer Woche, Dich jeden Tag erneut nach diesem Rezept fragen würde. Oder etwa nicht ?
FRED
>
> MfG
> mathegirl
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Sorry, wenn ich es nicht verstanden habe, aber ich werde bei Verständnisproblemen nicht mehr nachfragen!
Ich wollte nur wissen warum ich bei a) in [mm] x-\bruch{y}{2} [/mm] direkt einsetzen muss und bei b nicht!
Aber schon verstanden!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, wenn ich es nicht verstanden habe, aber ich werde
> bei Verständnisproblemen nicht mehr nachfragen!
Das ist doch blöd. Spiel nicht die beleidigte Leberwurst, sondern frage nach, wenn was unklar ist.
Was eine Abbildungsmatrix ist, ist doch eine Definition !! Wie man sie herstellt hat man Dir mehrfach gesagt. Angela sogar mit einem Weihnachtssprüchlein.
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> Ich wollte nur wissen warum ich bei a) in [mm]x-\bruch{y}{2}[/mm]
> direkt einsetzen muss und bei b nicht!
>
> Aber schon verstanden!!!
Bist Du sicher ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Do 15.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich hab mal nachgeschaut: Das mit Angelas Sprüchlein war am Montag :
"In den Spalten der Darstellungsmatrix $ [mm] M^R_S(h) [/mm] $ von h bzgl der Basen R im Urbildraum und S im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von R in Koordinaten bzgl. S. "
Und das in dieser Diskussion !!
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:31 So 18.12.2011 | | Autor: | roydebatzen |
Hi,
ich habe eine weitere Lösung und wollte wissen ob ich diese so fabrizieren kann:
[mm] \pmat{3 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & -2} *\pmat{0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 } [/mm] = [mm] \pmat{-4 &4&11\\-10&2&-4}
[/mm]
Ich hoffe die Rechnungen sind soweit klar...
Allerdings weiß ich nicht wieso die erste ien 2x3 Matrix ist, denn ich rechne ja:
[mm] f(\vektor{1\\2})=\vektor{3\\-1\\2} [/mm]
warum muss ich dann diesen Vektor ind die Zeilen übertragen und nicht in die Spalten?
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> Hi,
>
> ich habe eine weitere Lösung und wollte wissen ob ich
> diese so fabrizieren kann:
>
> [mm]\pmat{3 & -2 & 2 \\ 0 & -2 & -2} *\pmat{0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 2 }\ =\ \pmat{-4 &4&11\\-10&2&-4}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ich hoffe die Rechnungen sind soweit klar...
Nein, überhaupt nicht. In deinem Ergebnis stimmen nur
die ersten beiden Werte der ersten Zeile !
LG
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Huch keine Ahnung wie das passiert ist:
[mm] \pmat{-4&4&17\\0&-2&-6 }
[/mm]
Ist das die richtige Lösung?
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Hallo,
Du bist bei b)?
Die Matrix kann schon deshalb nicht stimmen, weil [mm] g:\IR^2\to \IR^3 [/mm] abbildet. Man hat also eine [mm] 3\times [/mm] 2-Matrix.
Du mußt die Bilder der Basisvektoren von A berechnen, diese als Koordinatenvektoren bzgl B schreiben, und sie als Spalten in eine Matrix stopfen.
Wenn's noch Fragen gibt, rechne vor, damit man nicht zum Stift greifen muß.
Gruß v. Angela
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