Darstellungsmatrix vs. Koordin < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Do 24.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | | Die Abbildung f: [mm] \IR³ [/mm] to [mm] \IR³, \vektor{ x \\ y \\ z } \mapsto \vektor{ 2x-y+z \\ -x+y-3z \\ y-z } [/mm] ist linear. Berechnen Sie die Matrix bzgl der Standardbasis B und die Matrix [mm] M_{B'}^{B}(f) [/mm] mit B'={ [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] } |
Hallo!
Ich habe die Matrix [mm] M_{B}(f) [/mm] und [mm] M_{B'}^{B}(f) [/mm] bestimmt. Es ist [mm] M_{B'}^{B}(f) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & 4 } [/mm] Das ist auch richtig. Nun möchte ich aber es umgekehrt machen d.h ich will von der Darstellungsmatrix auf [mm] \vektor{ 2x-y+z \\ -x+y-3z \\ y-z } [/mm] also muss ich die 3 koordinatenvektoren bestimmen. Da habe ich ein problem.
Ich habe wie folgt gerechnet: [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }= [/mm] 1* [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] + 1* [mm] \vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] +1* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
[mm] f_{B}^{-1}( \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & 4 } [/mm] * [mm] \vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ 5 }
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_{B'}( \vektor{ 0 \\ -3 \\ 5 }) [/mm] Nun diesen Vektor mit der Basis B' darstellen dann bekomme ich für die koordinaten x=5 y=-8 und z=-3 also 5x-8y-3z das kann aber nicht sein denn es sollte ja 2x-y+z heraus kommen wie oben in der aufgabenstellung!! Was mache ich falsch? Könnt ihr mir auch vielleicht erläutern wenn auch nur schriflich ohne rechnung? also schritt für schritt was ich machen muss.
Danke
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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Hallo,
schreib die Matrix B' mal richtig auf, Du hast da die Standardbasis stehen, das soll sicher nicht sein.
Und sag sicherheitshalber noch, welche Basis bei $ [mm] M_{B'}^{B}(f) [/mm] $ die des Zielraumes ist. B oder B'?
Gruß v. Angela
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> Die Abbildung f: [mm]\IR³[/mm] to [mm]\IR³, \vektor{ x \\ y \\ z } \mapsto \vektor{ 2x-y+z \\ -x+y-3z \\ y-z }[/mm]
> ist linear. Berechnen Sie die Matrix bzgl der Standardbasis
> B und die Matrix [mm]M_{B'}^{B}(f)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit B'={ [mm]\vektor{ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
> , [mm]\vektor{ 1 \\ 1 \\ 0 }[/mm] , [mm]\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Hallo!
>
> Ich habe die Matrix [mm]M_{B}(f)[/mm] und [mm]M_{B'}^{B}(f)[/mm] bestimmt. Es
> ist [mm]M_{B'}^{B}(f)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & 4 }[/mm]
Hallo,
[mm] M_{B'}^{B}(f) [/mm] liefert Dir die Bilder von Vektoren bzgl der Standardbasis in Koordinaten bzgl. B.
> Das ist auch richtig. Nun möchte ich aber es umgekehrt
> machen d.h ich will von der Darstellungsmatrix auf [mm]\vektor{ 2x-y+z \\ -x+y-3z \\ y-z }[/mm]
Du möchtest von dieser Darstellungsmatrix zurück zur Funktionsgleichung, welche Dir für bzgl der Standardbasis gegebene Vektoren das Bild bzgl der Standardbasis liefert. Habe ich Dich da richtig verstanden?
Nun, dann steck doch [mm] \vektor{ x \\ y \\ z }_B [/mm] in die Matrix, rechne also [mm] M_{B'}^{B}(f)\vektor{ x \\ y \\ z }.
[/mm]
Das, was herauskommst, ist das Bild in Koordinaten bzgl B', das kannst Du dann ja umwandeln.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 24.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo
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>Du möchtest von dieser Darstellungsmatrix zurück zur >Funktionsgleichung, welche Dir für bzgl der Standardbasis >gegebene Vektoren das Bild bzgl der Standardbasis >liefert. Habe ich Dich da richtig verstanden?
>
Ja richtig das habe ich vor. Ich weiss wenn ich eine Matrix A gegeben habe dann kann ich die Matrix als lineare Abbildung vom [mm] \IK^{n} \to \IK^{m} [/mm] umwandeln. Es gilt dann [mm] L_{B'}^{B}(A)= \phi_{B'} \circ [/mm] A [mm] \circ \phi_{B}^{-1} [/mm] : V [mm] \to [/mm] W
Nun klappt das bei mir nicht wie man oben sieht.
Gruß
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> Hallo
> >
> >Du möchtest von dieser Darstellungsmatrix zurück zur
> >Funktionsgleichung, welche Dir für bzgl der Standardbasis
> >gegebene Vektoren das Bild bzgl der Standardbasis
> >liefert. Habe ich Dich da richtig verstanden?
> >
>
> Ja richtig das habe ich vor.
Und wie Du das machen kannst, habe ich Dir ja bereits gesagt.
> Ich weiss wenn ich eine Matrix
> A gegeben habe dann kann ich die Matrix als lineare
> Abbildung vom [mm]\IK^{n} \to \IK^{m}[/mm] umwandeln. Es gilt dann
> [mm]L_{B'}^{B}(A)= \phi_{B'} \circ[/mm] A [mm]\circ \phi_{B}^{-1}[/mm] : V
> [mm]\to[/mm] W
> Nun klappt das bei mir nicht wie man oben sieht.
Zu dem, was Du hier schreibst, kann ich wenig sagen, Du beschreibst ja z.B. gar nicht, was sich hinter den [mm] \Phi [/mm] verbirgt.
Du kannst für Dein Vorhaben natürlich auch die Matrix $ [mm] M_{B'}^{B}(f) [/mm] $ nehmen, und vorne die Matrix [mm] M_{B}^{B'}(id) [/mm] heranmultiplizieren, das ist die matrix, welche Dir Vektoren, die in der Darstellung bzgl B' gegeben sind, in Koordinaten bzgl der Standardbasis umwandelt.
Es ist dann [mm] M_{B}^{B}(f) [/mm] = [mm] M_{B}^{B'}(id) M_{B'}^{B}(f) [/mm] ,
und das gewünschte [mm] f(\vektor{x \\ y\\z}) [/mm] bekommst Du dann so:
[mm] f(\vektor{x \\ y\\z}) [/mm] = [mm] M_{B}^{B}(f) (\vektor{x \\ y\\z}= M_{B}^{B'}(id) M_{B'}^{B}(f)(\vektor{x \\ y\\z}
[/mm]
Gruß v. Angela
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ändert aber nicht san dem falschen ergebnis
