Darstellungsmatrix zum Skalar. < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 So 30.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Zeige, dass die Matrix A die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis zu einem komplexen Skalarprodukt ist.
(allgemeines Verfahren) |
Hey,
ich wollt einmal eine Frage zum allgemeinen verfahren stellen und dann noch eine andere Frage.
zz.
[mm] 1)s_{A}(x,y)=x^{T}A\overline{y} [/mm] lässt sich für alle x,y aufstellen, dann ist es eine Sesquiliniarform
[mm] 2)A=\overline{A^{T}}, [/mm] dann ist es hermitesch
[mm] 3)s_{A}(x,x)=x^{T}A\overline{x}\ge [/mm] 0 und für x=0 [mm] \gdw x^{T}A\overline{x}=0, [/mm] dann ist es positiv definit
(hier taucht die noch andere Frage auf, ergibt sich aus dem vorgegeben A in der konkreten Aufgabe)
wie kann ich abschätzen, dass [mm] a^{2}+2b^{2}\ge [/mm] 2ab ist.
(für [mm] b\ge [/mm] a klar, aber wie begründe ich bei a>b)
4)(Satz aus der Vorlesung)
[mm] M^{E}_{E}(s_{A})=A
[/mm]
ehm, was ist denn hier dann genau zu zeigen?
Die ganze Form kommt mir etwas komsich vor,
normalerweise würde ich die Standardbasis durch die Abbildung [mm] s_{A} [/mm] schießen und dann bzgl. der Standardbasis wieder darstellen.
Das würde auch gut funtkionieren, wenn das eine Abbildung wäre von der Form [mm] f_{a}(x)=Ax, [/mm] denn hier kommt ja ein Vektor raus.
Aber bei der Abbildung [mm] s_{a}(x,y)=x^{T}A\overline{y} [/mm] kommt ja eine Zahl raus.
Wie muss ich denn bei der Darstellungsmatrix zu einem Skalarprodukt vorgehen?
Danke schonmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 So 30.01.2011 | | Autor: | diddy449 |
Ich habe ausversehen die Fälligkeitszeit falsch verändert,
Die Aufgabe hat bis Montag abend Zeit.
Vllt, würde es erstmal reichen, wenn ich wüsste, was zu zeigen ist, falls ich eine Matrix A habe und gefragt ist, ob A die Darstellungsmatrix bzgl. der Standardbasis ist.
Den Rest kann ich mir dann sicher zusammenreimen.
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> Zeige, dass die Matrix A die Darstellungsmatrix bzgl. der
> Standardbasis zu einem komplexen Skalarprodukt ist.
> (allgemeines Verfahren)
> Hey,
> ich wollt einmal eine Frage zum allgemeinen verfahren
> stellen und dann noch eine andere Frage.
Hallo,
es wäre genauso informativ für Dich, wenn Du Deine Frage mit der gegebenen Matrix posten würdest.
Und Du hättest schneller Antwort bekommen.
Was zu tun ist, hängt davon ab, was Ihr in der Vorlesung behandelt habt.
Wahrscheinlich war doch besprochen, daß jede hermitesche, positiv definite Matrix vermöge [mm] s_A(x,y):=x^{T}A\overline{y} [/mm] ein Skalarprodukt definiert.
Zu der Frage nach der Abschätzung:
überleg Dir, daß [mm] a^2-2ab+2b^2\le [/mm] 0. (Binomische Formel.)
> 4)(Satz aus der Vorlesung)
> [mm]M^{E}_{E}(s_{A})=A[/mm]
Wenn die [mm] e_i [/mm] die Standardbasisvektoren der Standardbasis E sind, dann ist ja
[mm] M_E^E(s_A)= (s_A(e_i,e_j)) [/mm] , Stichwort Gramsche Matrix.
Gruß v. Angela
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