Darstellungsmatrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm]F:\IR^3\rightarrow\IR^3[/mm] die folgendermaßen definierte Abbildung von [mm]\IR^3\[/mm] nach [mm]\IR^3\[/mm]:
[mm]f:(x,y,z)\rightarrow(-5x-18y-24z,4x+13y+16z,-2x-6y-7z)[/mm].
Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen [mm]_BM_B(f)[/mm] und [mm]_{B'}M_{B'}(f)[/mm] mit
(a) [mm]B=\{(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,1)\}[/mm],
und
(b) [mm]B'=\{3,-1,0),(-1,-1,1),(-3,2,-1)\}[/mm].
(c) Berechnen Sie [mm]_BM_{B'}(id)[/mm] und [mm]_{B'}M_B(id)[/mm].
(d) Verifizieren Sie, dass gilt
[mm]_{B'}M_{B'}(f)=_BM_{B'}(id)\cdot _BM_B(f)\cdot _{B'}M_B(id)[/mm].
Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) und eine Basis von Bild(f).
Welche Dimension hat [mm]\IR^3[/mm]/Kern(f)? |
Hallo!
ich bin bis (d) gekommen und nun habe ich offensichtlich einen Fehler gemacht denn es kommt nicht das heraus, was herauskommen soll:
Eigentlich soll folgende Gleichung gelten:
[mm] $$\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}=\pmat{-1&-9&-4\\-1&-6&-2\\-1&-7&-3}\cdot \pmat{-11&-84&-36\\4&29&12\\-6&-42&-17}\cdot \pmat{2&1&-6\\-1&-1&2\\-1&2&-3}$$
[/mm]
aber das kommt es nicht!
Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
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> Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Hallo,
ich fürchte, daß Du hierfür die vorangehenden Teilaufgaben vorrechnen mußt, damit man sehen kann ob hier nichts schiefgegangen ist, und wenn doch, wo der Fehler liegt.
Einen Fehler sehe ich allerdings sofort:
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}=\pmat{-1&-9&-4\\-1&-6&-2\\-1&-7&-3}\cdot \pmat{-11&-84&-36\\4&29&12\\-6&-42&-17}\cdot \pmat{2&1&-6\\-1&-1&2\\-1&2&-3}[/mm]
Es ist ja [mm] \pmat{-1&-9&-4\\-1&-6&-2\\-1&-7&-3} [/mm] nicht das Inverse von [mm] \pmat{2&1&-6\\-1&-1&2\\-1&2&-3},
[/mm]
Eine andere sache, die mich irritiert, ist folgendes in der Aufgabenstellung:
> $ [mm] _{B'}M_{B'}(f)=_BM_{B'}(id)\cdot _BM_B(f)\cdot _{B'}M_B(id) [/mm] $
In der mir geläufigen Notation müßten die Matrizen nämlich genau in der anderen Reihenfolge multipliziert werden - aber mögliherweise ist Eure Notation anders.
Gruß v. Angela
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> > Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
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> Hallo,
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> ich fürchte, daß Du hierfür die vorangehenden Teilaufgaben
> vorrechnen mußt, damit man sehen kann ob hier nichts
> schiefgegangen ist, und wenn doch, wo der Fehler liegt.
>
> Einen Fehler sehe ich allerdings sofort:
>
> >
> [mm]\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1}=\pmat{-1&-9&-4\\-1&-6&-2\\-1&-7&-3}\cdot \pmat{-11&-84&-36\\4&29&12\\-6&-42&-17}\cdot \pmat{2&1&-6\\-1&-1&2\\-1&2&-3}[/mm]
>
> Es ist ja [mm]\pmat{-1&-9&-4\\-1&-6&-2\\-1&-7&-3}[/mm] nicht das
> Inverse von [mm]\pmat{2&1&-6\\-1&-1&2\\-1&2&-3},[/mm]
hmm.. dann fange ich mal bei der letzten Matrix an, da ich bei den anderen ziemlich sicher bin:
Ich habe den Gauß-Jordan Algorithmus verwendet:
[mm] \pmat{1&0&-1&|&3&-1&-3\\0&1&0&|&-1&-1&2\\0&1&1&|&0&1&-1}
[/mm]
[mm] \pmat{1&0&-1&|&3&-1&-3\\0&1&0&|&-1&-1&2\\0&0&1&|&-1&2&-3}
[/mm]
[mm] \pmat{1&0&0&|&2&1&-6\\0&1&0&|&-1&-1&2\\0&0&1&|&-1&2&-3}
[/mm]
>
> Eine andere sache, die mich irritiert, ist folgendes in der
> Aufgabenstellung:
>
> > [mm]_{B'}M_{B'}(f)=_BM_{B'}(id)\cdot _BM_B(f)\cdot _{B'}M_B(id)[/mm]
>
> In der mir geläufigen Notation müßten die Matrizen nämlich
> genau in der anderen Reihenfolge multipliziert werden -
> aber mögliherweise ist Eure Notation anders.
>
Mich hat das auch ein wenig verwundet, normalerweise müsste
die Reihenfolge also sein: B' B B B B B' ?
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> > Es ist ja [mm]\pmat{-1&-9&-4\\-1&-6&-2\\-1&-7&-3}[/mm] nicht das
> > Inverse von [mm]\pmat{2&1&-6\\-1&-1&2\\-1&2&-3},[/mm]
>
> hmm.. dann fange ich mal bei der letzten Matrix an, da ich
> bei den anderen ziemlich sicher bin:
>
> Ich habe den Gauß-Jordan Algorithmus verwendet:
>
> [mm]\pmat{1&0&-1&|&3&-1&-3\\0&1&0&|&-1&-1&2\\0&1&1&|&0&1&-1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{1&0&-1&|&3&-1&-3\\0&1&0&|&-1&-1&2\\0&0&1&|&\red{-1}&2&-3}[/mm]
Hallo,
der rot markierte Eintrag ist falsch.
Die Matrix, die Du erhältst, ist die Matrix, in deren Spalten die Vektoren von B' in Koordinaten bzgl. B stehen, in meiner Schreibweise also [mm] _BM_{B'}.
[/mm]
> > In der mir geläufigen Notation müßten die Matrizen nämlich
> > genau in der anderen Reihenfolge multipliziert werden -
> > aber mögliherweise ist Eure Notation anders.
> >
> Mich hat das auch ein wenig verwundet, normalerweise müsste
> die Reihenfolge also sein: B' B B B B B' ?
Ja, so paßt es jedenfalls zu der Schreibweise, die ich mir angewöhnt habe, und welche ich oben auch verwendet habe.
Aber abgesehen davon, daß Dir bei der Berechnung ein Fehler unterlaufen ist, hast Du sie ja auuf der richtigen Seite dranmultipliziert und nicht so, wie's in der Aufgabe steht.
Gruß v. Angela
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> >
> der rot markierte Eintrag ist falsch.
>
Aber bei B' steht (3, -1,0)..?
Da kann doch nichts falsch sein, ich muss doch (3,-1,0) als Linearkombination der Basisvektoren aus B darstellen...
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Hallo,
da hast Du recht, da war noch nichts zu verderben...
Ich hab's falsch markiert, der Eintrg genau darunter ist es.
Gruß v. Angela
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oh mann wie kann man so dämlich sein!
Aber sowas passiert mir häufiger. Man sollte meinen, 0-(-1) wäre nicht so schwer....
Vielen Dank trotzdem!
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Wenn ich jetzt die Darstellungsmatrix der dualen Abbildung in der dualen Basis B* angeben soll, wie gehe ich da vor?
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> Wenn ich jetzt die Darstellungsmatrix der dualen Abbildung
> in der dualen Basis B* angeben soll, wie gehe ich da vor?
Hallo,
das ist sehr leicht: Du transponierst einfach die Matrix, die Du zuvor ausgerechnet hast.
Gruß v. Angela
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Also brauche ich die duale Basis gar nicht?
Was aber, wenn ich die angeben soll?
Und eine Frage habe ich noch zu der ursprünglichen Aufgabe: Was ist [mm] dim(\IR^3/Kern(f)) [/mm] ?
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> Also brauche ich die duale Basis gar nicht?
Hallo,
wenn die Aufgabe da so steht, wie Du es gesagt hast, brauchst Du nix. Du mußt bloß wissen, daß man das eben durch Transponieren bekommt.
Allerdings ist's ja i.d.R. ganz gut, wenn man ein bißchen weiß, was man tut - man könnte ja auch bei gewissen Gelegenheiten mal dazu befragt werden...
>
> Was aber, wenn ich die angeben soll?
Dann mußt Du sie angeben.
Das bedarf einiger kleiner Vorarbeiten: man muß sich erstmal schlau machen, was eine duale Abbildung und die duale Basis überhaupt sind (Skript, schlaues Buch).
Wenn die Defs vorliegen, kannst Du versuchen, das umzusetzen.
Falls Du sowas also sollst, willst oder mußt, fang mal an und zeig dann, wie weit Du kommst.
> Und eine Frage habe ich noch zu der ursprünglichen Aufgabe:
> Was ist [mm]dim(\IR^3/Kern(f))[/mm] ?
Gegenfragen: weißt Du, welche Elemente in der Menge [mm] \IR^3/Kern(f) [/mm] enthalten sind?
Welches war eine Basis von Kern f? Wie kannst Du sie zu einer Basis vom [mm] \IR³ [/mm] ergänzen? Vielleicht kommt Dir jetzt eine idee, was die Basis von [mm] \IR^3/Kern(f) [/mm] ist - dann weißt Du ja auch die Dimension. (Natürlich gibt's auch ein Förmelchen dafür, [mm] dim(\IR^3/Kern(f)) [/mm] heißt manchmal auch codimkernf, Codimension v. Kernf in [mm] \IR³ [/mm] - falls Du sie suchen willst.)
Gruß v. Angela
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Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Wenn ich die Klausur am Mittwoch bestehe, dann war das mit Sicherheit auch Dein Verdienst...!
Ich werde mich mal in meine Vorlesungsunterlagen vertiefen, ich meine, ich hätte in diesem Zusammenhang was von dem Kroneckersymbol gelesen....
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Ok, nach einigem Wälzen in den Unterlagen habe ich mir folgendes überlegt:
Für die duale Basis zu B ergeben sich 3 LGS mit jeweils 3 Gleichungen und 3 Variablen. Das erste sieht wohl so aus: [mm] $$\lambda_1\pmat{1\\0\\0}+\lambda_2\pmat{0\\1\\1}+\lambda_3\pmat{-1\\0\\1}=\pmat{1\\0\\0}$$
[/mm]
da ja das Kroneckersymbol nur 1 ist, wenn i=j. Das selbe gilt für die anderen LGS. Mit Gauß-Jordan komme ich dann [mm] zu:$$\pmat{1&0&-1&|&1&0&0\\0&1&0&|&0&1&0\\0&1&1&|&0&0&1}$$
[/mm]
umgeformt komme ich dann zu [mm] $$\pmat{1&0&0&|&1&-1&1\\0&1&0&|&0&1&0\\0&0&1&|&0&-1&1}$$
[/mm]
demnach ist die duale Basis [mm] dann$$B\*=\left\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{-1\\1\\-1},\pmat{1\\0\\1}\right\}$$
[/mm]
korrekt?
Die Dimension von Kern(f) ist für mich schon ein wenig schwieriger: Zunächst muss ich eine Basis von Kern(f) finden. Den Kern finde ich, indem ich die Darstellungsmatrix der Abbildung gleich Null setze. Eine Basis vom Kern ist dann eine Linearkombination dieses Vektors? [mm] \text{dim}(\IR^3/\text{Kern}(f)) [/mm] ist dann die Dimension von [mm] \IR^3 [/mm] - [mm] \text{dim(Kern}(f))?
[/mm]
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> Für die duale Basis zu B ergeben sich 3 LGS mit jeweils 3
> Gleichungen und 3 Variablen.
Hallo,
bevor Du irgendwas rechnest, solltest Du Dir erstmal klarmachen, woraus die duale Basis [mm] B^{\*} [/mm] überhaupt besteht.
Das sind keine Elemente des [mm] \IR³!
[/mm]
Ich schrieb es sinngemäß ja schon zuvor:
Was ist der Dualraum zum [mm] \IR³? [/mm] Was ist da drin? Spaltenvektoren? Türklinken? Reelle Zahlen? Abbildungen? Mengen?
Aus den entsprechenden Objekten wird dann natürlich auch die Basis bestehen.
Und die zu f duale Abbildung, von wo nach wo bildet sie wie ab?
Erst wenn dies geklärt ist, ist die Berechnung der dualen Basis sinnvoll.
Dann kannst Du die Def. der dualen Basis aufschreiben, und wir gucken mal, wie das geht.
Gruß v. Angela
Das erste sieht wohl so aus:
> [mm]\lambda_1\pmat{1\\0\\0}+\lambda_2\pmat{0\\1\\1}+\lambda_3\pmat{-1\\0\\1}=\pmat{1\\0\\0}[/mm]
> da ja das Kroneckersymbol nur 1 ist, wenn i=j. Das selbe
> gilt für die anderen LGS. Mit Gauß-Jordan komme ich dann
> zu:[mm]\pmat{1&0&-1&|&1&0&0\\0&1&0&|&0&1&0\\0&1&1&|&0&0&1}[/mm]
> umgeformt komme ich dann zu
> [mm]\pmat{1&0&0&|&1&-1&1\\0&1&0&|&0&1&0\\0&0&1&|&0&-1&1}[/mm]
> demnach ist die duale Basis
> dann[mm]B\*=\left\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{-1\\1\\-1},\pmat{1\\0\\1}\right\}[/mm]
> korrekt?
>
> Die Dimension von Kern(f) ist für mich schon ein wenig
> schwieriger: Zunächst muss ich eine Basis von Kern(f)
> finden. Den Kern finde ich, indem ich die
> Darstellungsmatrix der Abbildung gleich Null setze. Eine
> Basis vom Kern ist dann eine Linearkombination dieses
> Vektors? [mm]\text{dim}(\IR^3/\text{Kern}(f))[/mm] ist dann die
> Dimension von [mm]\IR^3[/mm] - [mm]\text{dim(Kern}(f))?[/mm]
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ok, der Dualraum zu V ist die Menge aller Linearformen von V, bildet also nach [mm] \IR [/mm] ab. Das bedeutet also, dass die duale Basis auch nur aus Elementen aus [mm] \IR [/mm] besteht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 15.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die duale Basis besteht aus Linearformen
FRED
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Also bei mir in der Vorlesungsmitschrift [mm] steht:$$v_1^\*(v_1)=1, v_1^\*(v_2)=\dots =v_1^\*(v_n)=0$$ [/mm] Auf diese Aufgabe bezogen wäre das [mm] also$$v_1^\*(u_1)=v_1^\*(\pmat{1\\1\\1})=1$$
[/mm]
Ist das dann ein Basiselemtent der dualen Basis?
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> Also bei mir in der Vorlesungsmitschrift
> steht:[mm]v_1^\*(v_1)=1, v_1^\*(v_2)=\dots =v_1^\*(v_n)=0[/mm] Auf
> diese Aufgabe bezogen wäre das
> also[mm]v_1^\*(u_1)=v_1^\*(\pmat{1\\1\\1})=1[/mm]
> Ist das dann ein Basiselemtent der dualen Basis?
Hallo,
ich weiß jetzt nicht genau, was Du gerade als Basiselement handelst und wo Du (1,1,1) hernimmst.
Es war ja $ [mm] B=\{(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,1)\} [/mm] $
[mm] v_1^\* [/mm] ist ein Basiselement.
Was ist [mm] v_1^\*? [/mm] Eine Linearform auf dem [mm] \IR³, [/mm] und zwar eine ganz bestimmte, die durch
[mm] v_1^\*(\pmat{1\\0\\0}):=1
[/mm]
[mm] v_1^\*(\pmat{0\\1\\1}):=0
[/mm]
[mm] v_1^\*(\pmat{1-\\0\\1}):=0
[/mm]
definierte, [mm] v_2^\*, v_3^\* [/mm] entsprechend.
Gruß v. Angela
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> Es war ja [mm]B=\{(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,1)\}[/mm]
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>
> [mm]v_1^\*[/mm] ist ein Basiselement.
>
> Was ist [mm]v_1^\*?[/mm] Eine Linearform auf dem [mm]\IR³,[/mm] und zwar
> eine ganz bestimmte, die durch
>
> [mm]v_1^\*(\pmat{1\\0\\0}):=1[/mm]
>
> [mm]v_1^\*(\pmat{0\\1\\1}):=0[/mm]
>
> [mm]v_1^\*(\pmat{-1\\0\\1}):=0[/mm]
>
> definierte, [mm]v_2^\*, v_3^\*[/mm] entsprechend.
>
Ok, analog dazu wäre
[mm]v_2^\*(\pmat{1\\0\\0}):=0[/mm]
[mm]v_2^\*(\pmat{0\\1\\1}):=1[/mm]
[mm]v_2^\*(\pmat{-1\\0\\1}):=0[/mm]
und
[mm]v_3^\*(\pmat{1\\0\\0}):=0[/mm]
[mm]v_3^\*(\pmat{0\\1\\1}):=0[/mm]
[mm]v_3^\*(\pmat{-1\\0\\1}):=1[/mm]
Also ist [mm] $B^\*=\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1}\}$?
[/mm]
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> > Es war ja [mm]B=\{(1,0,0),(0,1,1),(-1,0,1)\}[/mm]
> >
> >
> > [mm]v_1^\*[/mm] ist ein Basiselement.
> >
> > Was ist [mm]v_1^\*?[/mm] Eine Linearform auf dem [mm]\IR³,[/mm] und zwar
> > eine ganz bestimmte, die durch
> >
> > [mm]v_1^\*(\pmat{1\\0\\0}):=1[/mm]
> >
> > [mm]v_1^\*(\pmat{0\\1\\1}):=0[/mm]
> >
> > [mm]v_1^\*(\pmat{-1\\0\\1}):=0[/mm]
> >
> > definierte, [mm]v_2^\*, v_3^\*[/mm] entsprechend.
> >
> Ok, analog dazu wäre
>
> [mm]v_2^\*(\pmat{1\\0\\0}):=0[/mm]
>
> [mm]v_2^\*(\pmat{0\\1\\1}):=1[/mm]
>
> [mm]v_2^\*(\pmat{-1\\0\\1}):=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]v_3^\*(\pmat{1\\0\\0}):=0[/mm]
>
> [mm]v_3^\*(\pmat{0\\1\\1}):=0[/mm]
>
> [mm]v_3^\*(\pmat{-1\\0\\1}):=1[/mm]
Hallo,
bis hierhin ist alles richtig.
Du hast ja jetzt die drei Linearformen definiert, welche lt. Vorlesung die zu B duale Basis [mm] B^{\*} [/mm] des Dualraumes von [mm] \IR³ [/mm] bilden. Die Basis [mm] B^{\*} [/mm] besteht aus diesen drei oben definierten Abbildungen [mm] v_1^\*, v_2^\*, v_3^\*. [/mm]
der Dualraum besteht aus gewissen Abbildungen, nämlich den Linearformen, von daher ist es doch klar, daß die Basis des Raumes auch aus Linearformen besteht - und nicht aus Elementen des [mm] \IR³.
[/mm]
Man kann sich nun überlegen, daß man jede Linearform des [mm] \IR³ [/mm] als Linearkombination v. [mm] v_1^\*, v_2^\*, v_3^\* [/mm] schreiben kann.
Gruß v. Angela
>
> Also ist
> [mm]B^\*=\{\pmat{1\\0\\0},\pmat{0\\1\\0},\pmat{0\\0\\1}\}[/mm]?
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>
> Man kann sich nun überlegen, daß man jede Linearform des
> [mm]\IR³[/mm] als Linearkombination v. [mm]v_1^\*, v_2^\*, v_3^\*[/mm]
> schreiben kann.
Vielen Dank für die Anwort, ich glaube, ich habe das noch nicht so ganz verstanden. Ich habe doch für jedes [mm] $v_i^\*$ [/mm] drei Werte....
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> >
> > Man kann sich nun überlegen, daß man jede Linearform des
> > [mm]\IR³[/mm] als Linearkombination v. [mm]v_1^\*, v_2^\*, v_3^\*[/mm]
> > schreiben kann.
>
> Vielen Dank für die Anwort, ich glaube, ich habe das noch
> nicht so ganz verstanden. Ich habe doch für jedes [mm]v_i^\*[/mm]
> drei Werte....
Hallo,
ja, das ist doch kein Wunder1
Es gibt doch diesen (hoffentlich) wohlbekannten Satz, welcher sagt
"Jede lineare Abbildung ist durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt."
Genau das tut man: man definiert die [mm] v_i^\*, [/mm] indem man sagt, wie ihr Funktionswert auf der Basis B sein soll. Und da B drei Elemente enthält, muß ich für jede Abbildung drei Funktionswerte festlegen.
Gruß v. Angela
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> "Jede lineare Abbildung ist durch Angabe ihrer Werte auf
> einer Basis eindeutig bestimmt."
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> Genau das tut man: man definiert die [mm]v_i^\*,[/mm] indem man
> sagt, wie ihr Funktionswert auf der Basis B sein soll. Und
> da B drei Elemente enthält, muß ich für jede Abbildung drei
> Funktionswerte festlegen.
>
ok, ist dann [mm] $v_1^\*=(1,0,0)$?
[/mm]
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Hallo JSchmoeller,
>
> ok, ist dann [mm]v_1^\*=(1,0,0)[/mm]?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Angela versucht dir doch seit geraumer Zeit zu verklickern, dass die [mm] $v_i^{\star}$ [/mm] lineare Abbildungen von [mm] $\IR^3\to\IR$ [/mm] sind, die eben genau durch die obige Abbildungsvorschrift festgelegt sind.
Wie kann dann [mm] $v_1^{\star}$ [/mm] ein "normaler" Vektor aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] sein?
Die Vektoren im Dualraum sind - nochmal - Abbildungen !
Folglich ist auch die Basis des Dualraums eine Menge von linearen Abbildungen, nämlich [mm] $\{v_1^{\star}, v_2^{\star}, v_3^{\star}\}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Ok, seit geraumer Zeit versuche ich zu verstehen, wie denn nun [mm] v_1^\* [/mm] aussieht? Es muss also eine lineare Abbildung sein, die den ersten Basisvektor von B auf 1, und die anderen beiden jeweils auf 0 abbildet. Und wie komme ich jetzt auf die Abbildung?
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> Ok, seit geraumer Zeit versuche ich zu verstehen, wie denn
> nun [mm]v_1^\*[/mm] aussieht? Es muss also eine lineare Abbildung
> sein, die den ersten Basisvektor von B auf 1, und die
> anderen beiden jeweils auf 0 abbildet. Und wie komme ich
> jetzt auf die Abbildung?
Das ist die Abbildung!!!
Lineare Abbildungen sind durch die Angabe ihrer Werte auf eine Basis eindeutig beschrieben, und genau diese Beschreibung hast Du oben geliefert!
Wenn nach der dualen Basis gefragt wäre, würdest Du sagen [mm] B^\*=(v_1^\*,v_2^\*,v_3^\*) [/mm] mit
$ [mm] v_1^*(\pmat{1\\0\\0}):=1 [/mm] $
>
> $ [mm] v_1^*(\pmat{0\\1\\1}):=0 [/mm] $
>
> $ [mm] v_1^*(\pmat{-1\\0\\1}):=0 [/mm] $ ,
für [mm] v_2^\*,v_3^\* [/mm] entsprechend.
Mehr brauchst Du nicht! jeder weiß jetzt, was das für Abbildungen sind.
(Die Frage, wie diese Abbildungen jeweils bzgl der kanonischen Basis aussehen, bzw. was [mm] v_1^*(\pmat{x\\y\\z}) [/mm] ist, ist hier nicht gestellt - das
ist eine andere Fragestellung.)
Mit dem da oben ist die Frage nach der dualen Basis komplett beantwortet. Wenn man fragt: welches ist die duale Basis, ist das die Antwort, die man von Dir wissen will.
Gruß v. Angela
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Super, das war was ich wissen wollte!
Vielen Dank an alle Beteiligten, besonders an Angela für die Geduld. Jetzt sehe ich der morgigen Klausur deutlich beruhigter entgegen. Vielen Dank nochmal und drückt mir morgen von 8 bis 10 die Daumen 
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