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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Huhu,
ich habe folgendes gegeben:
Lineare Abbildung [mm] f:\IR^{3}\to\IR^{3}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax mit [mm] A=\pmat{ -2 & 8 & -5\\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -4 & 3} [/mm] und den Basen [mm] B=(\vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ -3 \\ 0}, \vektor{-6 \\ 0 \\ 3}) [/mm] und [mm] C=(\vektor{1 \\ -3 \\ 0}, \vektor{14 \\ 3 \\ -7}, \vektor{4 \\ 1 \\ -2}).
[/mm]
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So dann habe ich die Darstellungsmatrix [mm] M^{B}_C(f)=\pmat{ 0 & 0 & 3\\ 3 & -6 & -3 \\ -7 & 15 & 9} [/mm] berechnet (müsste auch stimmen, da ich sie sowohl über die Transformationsmatrizen bestimmt habe, als auch über die Linearkombinationen der Basen)
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So, jetzt geht es mir aber um generelle Verständnisfragen zu Darstellungsmatrizen und Transformationsmatrizen:
- Eine Darstellungsmatrix beschreibt durch zwei gegebene Basen eindeutig eine lineare Abbildung, andersherum beschreibt auch eine lineare Abbildung eine Darstellungsmatrix.
Frage: Wie genau berechne ich nun mit der obigen Darstellungsmatrix Bilder von Vektoren, also z.B. [mm] f(\vektor{1 \\ 1 \\ 1})?
[/mm]
Ich tue mich auch irgendwie noch schwer damit genau du begreifen, wie eine Darstellungsmatrix eine Abbildung beschreiben kann. Bei den "üblichen" Vorschriften setzt man ja x-Werte ein, und erhält dann y-Werte, darum kann ich mir etwas vorstellen, aber was die Matrix da macht ist mir ein wenig schleierhaft ;p
Was genau ist die Aufgabe einer Transformationsmatrix? Ersetzt sie quasi nur die Rechenschritte mit den Koordinatenvektoren, also dem Umschreiben der Basisvektoren von B in Linearkombinationen aus den Vektoren von C oder welche Logik steckt hinter diesen Matrizen?
Vom rein rechentechnischen her kann ich mit den ganzen Matrizen mehr oder weniger umgehen, was mir einfach zum 100% Verständnis fehlt ist eine Erklärung warum, wie, wofür man diese Matrizen braucht :p
Sorry für die vielen Fragen,
Hanz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Sa 27.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn du Vektoren in der Form [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] gegeben hast (diese Darstellung nennt man auch "Koordinatendarstellung"), dann ist das immer bzgl. einer bestimmten Basis zu verstehen.
In den meisten Fällen ist das die Standardbasis, also z.B. für den [mm] \IR^2:[/mm] [mm](\vektor{1 \\ 0} und \vektor{0 \\ 1})[/mm].
Wenn du eine lineare Abbildung der Form [mm]x \mapsto Ax[/mm] mit einer Matrix A gegeben hast, dann multiplizierst du ja den Vektor x mit der Matrix A um das Bild zu erhalten.
Was man aber meist vergisst ist, dass man den Vektor x dafür schon in der Form [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] haben muss, um ihn überhaupt mit der Matrix multiplizieren zu können, d.h. man muss sich schon für eine Basis entschieden haben.
Wenn man jetzt aber eine andere Basis wählt, dann ändert sich ja die Koordinatendarstellung.
Also kann man auch nicht mehr den Vektor einfach mit der Matrix multiplizieren, um ein Bild zu erhalten.
Um das Bild aber trotzdem ausrechnen zu können, braucht man die Darstellende Matrix der Matrix A bzgl. der neuen Basen.
Dann kann man nämlich wieder einfach den Vektor (in der Koordinatendarstellung bzgl. der neuen Basis) mit der Darstellenden Matrix multiplizieren und erhält den richtigen Bildvektor (natürlich wieder bzgl. der anderen Basis, nicht der Standardbasis).
Um jetzt den Vektor wieder bzgl. der Standardbasis dargestellt zu haben, muss man ihn mit der entsprechenden Transformationsmatrix multiplizieren.
Anmerkung: Mein erster Satz war nicht ganz korrekt, wie mir grad auffällt. Wenn man den [mm] \IR^n [/mm] betrachtet, dann braucht man natürlich Vektoren der Form [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] nicht als eine Koordinatendarstellung bzgl. irgendwelcher Basen aufzufassen, sondern der [mm] \IR^n [/mm] ist ja "direkt" als der Raum all dieser [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] definiert. Wenn man aber die Standardbasis wählt, dann entspricht die Form [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] genau der Koordinatendarstellung bzgl. der Standardbasis.
Hierbei sieht man auch gleich: In der Abbildung [mm]x \mapsto Ax[/mm] ist die Matrix A selbst wieder eine Darstellende Matrix, nämlich bzgl. der Standardbasen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 So 28.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Danke für deine Antwort, aber wäre es evtl. möglich das anhand meines Beispiels vielleicht nochmal zu verdeutlichen?
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Hallo,
Deine Darstellungsmatrix war $ [mm] M^{B}_C(f)=\pmat{ 0 & 0 & 3\\ 3 & -6 & -3 \\ -7 & 15 & 9} [/mm] $ .
Du interessierst Dich nun für das Bild des Vektors [mm] \vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Die Darstellungsmatrix "frißt" Vektoren, die in Koordinaten bzgl B sind, und gibt deren Bilder in Koordinaten bzgl. C von sich.
Du mußt also zuerst [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] in Koordinaten bzgl B umwandeln, dh. [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von B schreiben.
Die Koeffizienten "gestapelt" ergeben dann den Koodinatenvektor von [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] bzgl B.
Diesen kannst Du mit der Matrix multiplizieren, das, was herauskommt, ist in Koordinaten bzgl. C. Wenn Du's in Standardkoordinaten wissen willst, mußt Du wieder umwandeln.
Am besten Du fängstertmal an und zeigst, wie weit Du kommst. Da sieht man am besten, ob Du's verstanden hast.
gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 So 28.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Huhu,
Umwandlung von $ [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] $ als Linearkombination von B:
$ [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] $ =3*$ [mm] \vektor{1\\2\\0}$+\bruch{5}{3}*$ \vektor{0\\-3\\0}$+\bruch{1}{3}*$ \vektor{-6\\0\\3}$
[/mm]
D.h. [mm] \vektor{3 \\ \bruch{5}{3} \\ \bruch{1}{3}} [/mm] ist mein Koordinatenvektor zu $ [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] $ bzgl. B.
Nun multiplizieren:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 3\\ 3 & -6 & -3 \\ -7 & 15 & 9}*\vektor{3 \\ \bruch{5}{3} \\ \bruch{1}{3}}= \vektor{1 \\ 16 \\ 7}. [/mm] <-- Das ist jetzt mein Bild bzgl. C?
Dann wandle ich nochmal um, damit ich das Bild bzgl. der Standartbasis erhalte:
[mm] 1*\vektor{1 \\ -3 \\ 0}+16*\vektor{14 \\ 3 \\ -7}+7*\vektor{4 \\ 1 \\ -2}=\vektor{253 \\ 52 \\ -126}
[/mm]
Ich glaube da ist was schiefgegangen >.<
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 So 28.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
[mm]\pmat{ 0 & 0 & 3\\ 3 & -6 & -3 \\ -7 & 15 & 9}\vektor{3 \\ \bruch{5}{3} \\ \bruch{1}{3}}= \vektor{1 \\ -2 \\ 7}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 28.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Dann...
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 3\\ 3 & -6 & -3 \\ -7 & 15 & 9}\vektor{3 \\ \bruch{5}{3} \\ \bruch{1}{3}}= \vektor{1 \\ -2 \\ 7} [/mm] $
also:
$ [mm] 1\cdot{}\vektor{1 \\ -3 \\ 0}-2\cdot{}\vektor{14 \\ 3 \\ -7}+7\cdot{}\vektor{4 \\ 1 \\ -2}=\vektor{1 \\ -2 \\ 0} [/mm] $
Jo, das sieht doch besser aus :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 So 28.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Und das ist genau dasselbe wie [mm]\pmat{ -2 & 8 & -5\\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -4 & 3}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm].
Der ganze Sinn ergibt sich eigentlich erst, wenn man nicht im [mm] \IR^n [/mm] rechnet, wo man die Vektoren ja eh in der Form [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] gegeben hat, sondern in irgendwelchen anderen endlich-dimensionalen VR.
Die können nämlich total wirr aussehen, aber wenn man sich eine Basis festlegt, dann kann man das alles in den "schönen" [mm] \IR^n [/mm] rüberschaufeln und ist wieder glücklich ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 28.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Eine Frage hätte ich jetzt doch noch und zwar: Warum will man denn das Bild bzgl. der Standardbasen so umständlich berechnen, wenn man einfach A*x (also die Ausgangsmatrix) das selbe Ergebnis herausbekommt?
In der Aufgabe muss sie doch ebefalls gegeben sein, sonst könnte man die Darstellungsmatrix ja gar net aufstellen.
Und wenn ich nur die Darstellungsmatrix * den Vektor (1,1,1) rechne, bekomme ich dann als Ergebnis das Bild von (1,1,1) bzgl. der Basis C?
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> Eine Frage hätte ich jetzt doch noch und zwar: Warum will
> man denn das Bild bzgl. der Standardbasen so umständlich
> berechnen, wenn man einfach A*x (also die Ausgangsmatrix)
> das selbe Ergebnis herausbekommt?
Hallo,
sieh das ganze als kleine Übungen zum lockern und Warmwerden an.
Der Sinn wird sich demnächst enthüllen: wenn man lineare Abbildungen vorliegen hat, kann man die Basis so wählen, daß die darstellenden Matrizen sehr einfache Gestalt bekommen, und man hieran etwas über die Machart der Abbildung ablesen kann.
Ich habe das jetzt bewußt vage gehalten. Vielleicht denkst Du z.B. beim Thema Diagonalisierung an meine Worte.
Gruß v. Angela
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