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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:42 Di 15.04.2008 | | Autor: | MacMath |
| Aufgabe | Sei K Körper, [mm] A_5 [/mm] die alternierende Gruppe auf 5 Punkten
b) Man zeige, dass durch
[mm] (1,2,3)\mapsto\pmat{0 & -1 & 0&0\\1 & -1 & 0&0\\0 & -1 & 1&0\\0 & -1 & 0&1} [/mm] und [mm] (1,2,3,4,5)\mapsto\pmat{0 & 0 & 0&-1\\1 & 0 & 0&-1\\0 & 1 & 0&-1\\0 & 0 & 1&-1}
[/mm]
eine K-Darstellung [mm] \nu [/mm] von [mm] A_5 [/mm] definiert wird
c.) Für welche K ist die Darstellung irreduzibel
Hinweis zu b und c: Man betrachte eine geeignete Permutationsdarstellung
(Aus a.) ist bekannt dass (1,2,3) und (1,2,3,4,5) die [mm] A_5 [/mm] erzeugen.) |
Hallo,
erstmal nur zur SIcherheit:
Da die Abbildung definiert wurde indem das Bild für ein Erzeugendensystem angegeben wurde ist doch zu b) lediglich zu zeigen, dass [mm] \nu(1)=E_5 [/mm] ist, oder? Also [mm] \nu((1,2,3)^3)=E_5 [/mm] und [mm] \nu((1,2,3,4,5)^5)=E_5.
[/mm]
Dementsprechend würde mir der Hinweis nur helfen, indem ich diese Matrixpotenzen nicht berechnen muss. Stimmt das?
Für c.) hab ich noch keinen Ansatz, aber es fällt auf dass das Bild von (1,2,3,4,5) die Begleitmatrix von [mm] x^3+x^2+x+1 [/mm] ist, "hat mit der Sache wahrscheinlich was zu tun".
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Di 15.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> erstmal nur zur SIcherheit:
> Da die Abbildung definiert wurde indem das Bild für ein
> Erzeugendensystem angegeben wurde ist doch zu b) lediglich
> zu zeigen, dass [mm]\nu(1)=E_5[/mm] ist, oder? Also
> [mm]\nu((1,2,3)^3)=E_5[/mm] und [mm]\nu((1,2,3,4,5)^5)=E_5.[/mm]
Imo auch noch, dass diese Abbildungen mit den Relationen auf der Gruippe verträglich sind. Du zeigst ja bloß, dass die Ordnungen verträglich sind - es gibt doch aber weitere Relationen in dieser Gruppe.
> Dementsprechend würde mir der Hinweis nur helfen, indem
> ich diese Matrixpotenzen nicht berechnen muss. Stimmt das?
Siehe oben - imo muss man da a priori mehr prüfen. Vielleicht gibt es ja einen trick, die Sachen leichter zu sehen.
> Für c.) hab ich noch keinen Ansatz, aber es fällt auf dass
> das Bild von (1,2,3,4,5) die Begleitmatrix von [mm]x^3+x^2+x+1[/mm]
> ist, "hat mit der Sache wahrscheinlich was zu tun".
Wenn ich mich mal mit Darstellungen auskennen würde ... ich mutmaße mal mit dem, was ich weiß (und lasse es deswegen auf halb beantwortet): die Nullstellen der zweiten Matrix helfen wohl invariante Unterräume zu finden. Genauso für die erste MAtrix.
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Di 15.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Ja das mit den Unterräumen macht Sinn...
Aber was meinst du mit "Relationen"? Das kann ja alles sein, ich dachte nur mit der Ordnung hätte ich die komplette Struktur, bzw wenn das gezeigt und zusätzlich Kern [mm] \nu={1} [/mm] hab ich sofort einen Isomorphismus.
Was genau wäre noch zu prüfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Di 15.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Aber was meinst du mit "Relationen"? Das kann ja alles
> sein, ich dachte nur mit der Ordnung hätte ich die
> komplette Struktur, bzw wenn das gezeigt und zusätzlich
> Kern [mm]\nu={1}[/mm] hab ich sofort einen Isomorphismus.
Also wenn du zwei Erzeuger a, b hast, dann kann ja in der Gruppe zB [m]a^2b^{-1}=e[/m] gelten. Das muss dein auch Homomorphismus berücksichtigen. Wenn du bloß die Ordnungen berücksichtigst, köntne man das gleiche mit der Gruppe [m]\IZ_3\times \IZ_5[/m] machen - und dann könntest du die Gruppen nciht mehr unterscheiden.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 15.04.2008 | | Autor: | MacMath |
Die Definition fordert aber nur einen Homomorphismus von
[mm] A_5\to GL_n(K) [/mm] in diesem Fall.
reicht dafür nicht die Ordnung aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Di 15.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Die Definition fordert aber nur einen Homomorphismus von
> [mm]A_5\to GL_n(K)[/mm] in diesem Fall.
> reicht dafür nicht die Ordnung aus?
Wieso sollte? Für n kann man [m]S_n[/m] als Permutation auf den Basisvektoren einbetten. Das hört sich dann eher nach einer komplizierten Sache an.
Ich lasse mich aber gerne durch einen Beweis vom Gegenteil überzeugen.
Allerdings ist für die Gruppe [m]A_5[/m] die Rezeuher nicht kommutativ - wenn ich also n groß genug wähle, so lassen sich sicher zwei kommutierende Endos finden, die die jeweilige Ordnung haben - dann hast du eine Surjektion von [m]A_5[/m] auf eine nicht-triviale abelsche Gruppe, was in einem Widerspruch endet.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 16.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
du suchst also nach einer darstellung vom grad $4$, wleche sich aus einer permutationsdarstellung ergibt? die naheliegendste idee einfach die permutationsdarstellung auf einer faktorgruppe nach einer untergruppe vom index $4$ kann dies nicht sein. die nächste idee wäre vielleicht den beweis zum satz von maschke zu reproduzieren: betrachte die darstellung der [mm] $A_5$ [/mm] auf den $5$ basisvektoren [mm] $e_i$, [/mm] wobei [mm] $\sigma(e_i) [/mm] = [mm] e_{\sigma(i)}, \; \sigma \in A_5$. [/mm] der unterraum $U = [mm] \left< \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1 \\ 1\end{array} \right) \right>$ [/mm] ist invariant und hat nach dem satz von maschke ein komplement $X$, der satz gibt dir auch eine berechnungsart an die hand. da du dies nur für zwei elemente machen musst, ist das vielleicht noch ein vertretbarer aufwand. ich befürchte aber, so kommst du auch nicht zu der gewünschten darstellung. was habt ihr denn bisher über permutationsdarstellungen gelernt?
wenn du von hand nachrechnen willst, dass es sich um eine darstellung handelt musst du natürlich auch zeigen, dass die abbildung die relationen respektiert, wie SEki schon geschrieben hat, es soll ja schließlich ein homomorphismus sein und somit $D(uv) = D(u)D(v)$ gelten.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 17.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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