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Heyho!
Sei M eine endliche Menge und sei G:=Perm(M) die zugehörige Permutationsgruppe und sei V:=Maps(M, [mm] \IC) [/mm] der Vektorraum der komplexwertigen Abbildungen von M.
Zu zeigen ist:
[mm] \delta: [/mm] G [mm] \to [/mm] Aut(V)
[mm] \pi \mapsto \delta_{\pi}: [/mm] V [mm] \to [/mm] V
f [mm] \mapsto \delta_{\pi}(f): [/mm] M [mm] \to \IC
[/mm]
a [mm] \mapsto f(\pi^{-1}(x))
[/mm]
ist eine lineare Darstellung von G in V.
Klar ist mir bis jetzt nur, dass [mm] \delta_{\pi} [/mm] ein Homomorphismus ist...
Warum ist er invertierbar?
Auch scheitere ich irgendwie daran, nachzurechnen, dass [mm] \delta [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist...
[mm] \delta(\pi*\tau)(f)=a\mapsto f(((\pi*\tau)^{-1})(a))=a\mapsto (f\circ\tau^{-1}\circ\pi^{-1})(a)
[/mm]
[mm] (\delta_{\pi}\circ\delta_{\tau})=a\mapsto (f((\tau^{-1})(a)))((\pi^{-1})(a))
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Do 30.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei M eine endliche Menge und sei G:=Perm(M) die
> zugehörige Permutationsgruppe und sei V:=Maps(M, [mm]\IC)[/mm] der
> Vektorraum der komplexwertigen Abbildungen von M.
> Zu zeigen ist:
> [mm]\delta:[/mm] G [mm]\to[/mm] Aut(V)
> [mm]\pi \mapsto \delta_{\pi}:[/mm] V [mm]\to[/mm] V
> f [mm]\mapsto \delta_{\pi}(f):[/mm] M [mm]\to \IC[/mm]
>
> a [mm]\mapsto f(\pi^{-1}(x))[/mm]
Ist $x = a$?
> ist eine lineare
> Darstellung von G in V.
>
> Klar ist mir bis jetzt nur, dass [mm]\delta_{\pi}[/mm] ein
> Homomorphismus ist...
> Warum ist er invertierbar?
Weil [mm] $\delta_{\pi^{-1}}$ [/mm] sein Inverses ist  Das folgt daraus, dass [mm] $\delta$ [/mm] ein Homomorphismus ist.
> Auch scheitere ich irgendwie daran, nachzurechnen, dass
> [mm]\delta[/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist...
>
> [mm]\delta(\pi*\tau)(f)=a\mapsto f(((\pi*\tau)^{-1})(a))=a\mapsto (f\circ\tau^{-1}\circ\pi^{-1})(a)[/mm]
Sei $f [mm] \in [/mm] V$ und $a [mm] \in [/mm] M$. Dann ist [mm] $\delta(\pi \tau)(f)(a) [/mm] = [mm] \delta_{\pi \tau}(f)(a) [/mm] = [mm] f((\pi \tau)^{-1} [/mm] a)$.
> [mm](\delta_{\pi}\circ\delta_{\tau})=a\mapsto (f((\tau^{-1})(a)))((\pi^{-1})(a))[/mm]
Und [mm] $(\delta(\pi) \circ \delta(\tau))(f)(a) [/mm] = [mm] (\delta_\pi(\delta_\tau(f)))(a) [/mm] = [mm] \delta_\tau(f)( \pi^{-1}(a) [/mm] ) = [mm] f(\tau^{-1} \pi^{-1} [/mm] a)$.
Versuch das mal genau nachzuvollziehen.
LG Felix
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