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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Kasperl |
Hallole,
also die zweite Frage hat sich schon erledigt, da hab ich was falsch interpretiert. 
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Sa 22.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> ich wolte nochmal anfragen ob das hier:
> >Und wenn ich eine Projektion (Modulhomomorphismus) eines
> Moduls M
> >auf einen Untermodul U habe, also [mm]\phi[/mm] : M [mm]\to[/mm] U und
> einen
> >Endomorphismus f von M. Wieso ist dann
> >für alle u [mm]\in[/mm] U : f( [mm]\phi[/mm] (u)) [mm]\in[/mm] U ?
hm. also ich wüsste nicht, warum das gelten sollte. betrachte den [mm] $\mathbb{Z}$-Modul [/mm] $M = [mm] \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ [/mm] mit komponentenweiser addition skalarmultiplikation, den untermodul $U = [mm] \mathbb{Z} \times \{0\}$, [/mm] sowie die projektion [mm] $\phi: [/mm] M [mm] \longrightarrow [/mm] U$, die einfach den ersten eintrag beibehält und den zweiten eintrag auf null setzt. wenn dann $f: M [mm] \longrightarrow [/mm] M$ der endomorphismus ist, der die beiden komponenten vertauscht, dann gilt für $(1; 0) [mm] \in [/mm] U$: $(f [mm] \circ \phi)((1; [/mm] 0)) = f((1; 0)) = (0; 1) [mm] \not\in [/mm] U$.
ich sehe da leider nicht, was ich übersehen haben sollte? kann es vielleicht sein, dass du die reihenfolge von $f$ und [mm] $\phi$ [/mm] verdreht hast, dann wäre die aussage nämlich trivialerweise richtig?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 So 23.04.2006 | | Autor: | Kasperl |
Hallo,
Danke für deine Mühe.
Also genau stand da f( [mm] \phi (f^{-1}(m))) [/mm] .
Ändert das etwas an der Situation, falls ja sorry.
Gruß Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter!
> Also genau stand da f( [mm]\phi (f^{-1}(m)))[/mm] .
Du meinst [mm] $f(\phi(f^{-1}(u))) \subseteq [/mm] U$ fuer alle $u [mm] \in [/mm] U$? (Schliesslich ist [mm] $f^{-1}(u)$ [/mm] ja erstmal eine Menge.)
> Ändert das etwas an der Situation, falls ja sorry.
Ja das aendert was 
Setz doch mal $V := [mm] \ker\phi$; [/mm] dann ist $M = V [mm] \oplus [/mm] U$. Jetzt kannst du [mm] $f|_U$ [/mm] schreiben als [mm] $f|_U [/mm] = [mm] (f_{UU}, f_{UV})$ [/mm] mit [mm] $f_{UU} [/mm] : U [mm] \to [/mm] U$ und [mm] $f_{UV} [/mm] : U [mm] \to [/mm] V$, und [mm] $f|_V [/mm] = [mm] (f_{VU}, f_{VV})$ [/mm] mit [mm] $f_{VU} [/mm] : V [mm] \to [/mm] U$ und [mm] $f_{VV} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V$.
Nimm dir jetzt ein $w [mm] \in f^{-1}(u)$; [/mm] also $w = u' + v'$ mit $u' [mm] \in [/mm] U$, $v' [mm] \in [/mm] V$ und $f(w) = u [mm] \in [/mm] U$. Jetzt kannst du [mm] $f(\phi(w)) [/mm] = f(u')$ explizit ausrechnen...
LG Felix
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