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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht 100% ig verstehe! Eigentlich habe ich nur ein ungeklärte Frage diesbezüglich.
SATZ :
Sei [mm] A \subseteq X [/mm]. Dann ist [mm] \overset{\circ}{A} [/mm] die größte offene Telmenge von X, die in A enthalten ist.
Beweis :
1. Zeige, dass [mm] \overset{\circ}{A} [/mm] offen in X ist.
Sei [mm] x [mm] \in[/mm] [mm] \overset{\circ}{A} [/mm] , d.h. A ist Umgebung von x.
Dann gibt es eine offene Teilmenge B von X mit [mm] x \in B \subseteq A [/mm].
Wir zeigen, dass [mm] B \subseteq \overset{\circ}{A} [/mm] :
Ist [mm] y \in B [/mm] , so ist [mm] y \in B \subseteq A [/mm], d.h A ist Umgebung von y und somit ist [mm] y \in \overset{\circ}{A} [/mm] .
2. Zeige, dass A die größte offene Menge ist
Sei B eine offene Teilmenge von X mit [mm] B \subseteq A [/mm].
Zeige, dass [mm] B \subseteq \overset{\circ}{A} [/mm] :
Sei [mm] x \in B [/mm]. Dann ist [mm] x \in B \subseteq A [/mm], also ist A eine Umgebung von x, deswegen ist [mm] x \in \overset{\circ}{A} [/mm].
Frage: Ich sehe leider nicht, dass im Beweisteil b gezeigt wurde, dass das Innere von A die größte offene Telmenge ist. Warum ist das so?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo alle zusammen!
> Ich habe hier einen Satz, dessen Beweis ich nicht 100% ig verstehe!
> Eigentlich habe ich nur ein ungeklärte Frage
> diesbezüglich.
>
> SATZ :
>
> Sei [mm]A \subseteq X [/mm]. Dann ist [mm]\overset{\circ}{A}[/mm] die größte
> offene Telmenge von X, die in A enthalten ist.
>
> Beweis :
>
> 1. Zeige, dass [mm]\overset{\circ}{A}[/mm] offen in X ist.
>
> Sei [mm]x [mm]\in[/mm] [mm]\overset{\circ}{A}[/mm] , d.h. A ist Umgebung von x.
> Dann gibt es eine offene Teilmenge B von X mit [mm]x \in B \subseteq A [/mm].
> Wir zeigen, dass [mm]B \subseteq \overset{\circ}{A}[/mm] :
> Ist [mm]y \in B[/mm] , so ist [mm]y \in B \subseteq A [/mm], d.h A ist
> Umgebung von y und somit ist [mm]y \in \overset{\circ}{A}[/mm] .
> 2. Zeige, dass A die größte offene Menge ist
> Sei B eine offene Teilmenge von X mit [mm]B \subseteq A [/mm].
> Zeige, dass [mm]B \subseteq \overset{\circ}{A}[/mm] :
> Sei [mm]x \in B [/mm]. Dann ist [mm]x \in B \subseteq A [/mm], also ist A
> eine Umgebung von x, deswegen ist [mm]x \in \overset{\circ}{A} [/mm].
> Frage: Ich sehe leider nicht, dass im Beweisteil b gezeigt wurde, dass
> das Innere von A die größte offene Telmenge ist. Warum ist das so?
im ersten Beweisteil wurde doch gezeigt, dass [mm] $\overset{\circ}{A}$ [/mm] überhaupt erstmal eine in $X$ offene Menge ist.
Wenn [mm] $\overset{\circ}{A}$ [/mm] nun die größte offene Menge, die in $A$ enthalten ist, sein sollte, so heißt das doch, dass eine jede offene Teilmenge $O [mm] \subseteq [/mm] A$ auch $O [mm] \subseteq \overset{\circ}{A}$ [/mm] erfüllen muss (andernfalls würde man [mm] $A':=\overset{\circ}{A} \cup [/mm] O$ bilden und hätte dann mit $A'$ eine größere offene Teilmenge von $A$ gefunden).
(Das klingt auch eigentlich ganz logisch, vielleicht, wenn Du es Dir mal sorum überlegst:
Wäre [mm] $\overset{\circ}{A}$ [/mm] nicht die größte offene Teilmenge von $A$, so gäbe es eine offene Teilmenge $A'$ von $A$, so dass diese "größer" als [mm] $\overset{\circ}{A}$ [/mm] wäre. Das letzte heißt mengentheoretisch:
So, dass dann [mm] $\overset{\circ}{A} \subseteq [/mm] A'$ wäre.)
So ist die obige Aussage zu verstehen: Man sagt, wenn $A,B [mm] \subseteq [/mm] X$:
$B$ sei größer als $A$, wenn $A [mm] \subseteq [/mm] B$ gilt.
Übrigens läßt sich das ganze auch (obwohl der Beweis genauso aussieht) so aufschreiben, dass man sagt, dass man die folgende Mengengleichheit zeigt:
[mm] $\overset{\circ}{A}= \bigcup_{O \subseteq A \mbox{ und } O \mbox{ offen}} [/mm] O$
Das heißt, [mm] $\overset{\circ}{A}$ [/mm] ist die Vereinigung über alle offenen Teilmengen von $A$. Und dann ist die Aussage oben klar (weil die Vereinigung über beliebig vielen offenen Mengen stets wieder offen ist).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Marcel!
Vielen vielen Dank!
Jetzt hab ich das verstanden!
Viele Grüße
Irmchen
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