Das totale Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Sa 03.01.2009 | | Autor: | DarkRose |
| Aufgabe | Bilden Sie das totale Differential dz der folgenden Funktion:
[mm] f(x,y)=z=ln\wurzel{(2x²+4y²)³}
[/mm]
Bringen Sie zunächst durch Anwendung der Potenzregeln un der Regeln für logarithmische Ausdrücke die Funktion in einen günstigere Form.
b) Wie lautet das totale Differential an der Stelle (x;y)=(-1,0;2,0)
c)Berechnen Sie das totale Differntial dz für den Übergang von der Stelle (x;Y)=(-1,0;2,0) zur Stelle (x;y)0(-1,1;2,2) sowie zur Stelle (-2,0;4,0). Wie groß ist jeweils die Änderung des Funktionswertes [mm] \Delta [/mm] z ?
Vergleichen Sie die für dz erhaltenen Werte mit den entsprechenden [mm] \Delta [/mm] z Werten. Ist dz eine gute Näherung für die tatsächliche Änderug [mm] \Delta [/mm] z des Funktionswertes? |
Huhu,
also, wie man das totale Differential bildet, weiß ich im Prinzip (partielle ABleitungen, einmal nach x, einmal nach y und das Gleichung aufstellen). Mein erstes Problem ist jedoch gerade, wie ich am besten diese Funktion umändere, dass ich damit auch vernünftig rechnen kann. Statt Wurzel kann man ja auch den Term unter der Wurzel hoch 0,5 nehmen. Allerding ist das dann ja auch noch die dritte binomische Formel, die erstmal weg müsste. Die wäre ja a³+3a²b+3ab²+b³. Hmm.. aber mich verwirren die x und y. Muss sich ja im Endeffekt auf alles beziehen und nicht nur auf die Zahl vor dem x bzw y.
Kann mir da jemand helfen?
Zu b) Das wäre dann doch im Prinzip nur einsetzen in die Formel unter a, oder?
zu c) Da rechne ich dann doch nur mit den Differenzen zwischen den beiden Stellen, nicht wahr?
Naja, ich denke, wenn die Formel erst einmal schöner ausschaut, dann ist mein größstes Problem erst einmal vom Tisch. Wäre super, wenn jemand Licht in mein Gedankenwirrwarr aus Rechenregeln bringen könnte. :)
LG und danke schon einmal,
DarkRose
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> Bilden Sie das totale Differential dz der folgenden
> Funktion:
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> [mm]f(x,y)=z=ln\wurzel{(2x²+4y²)³}[/mm]
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> Bringen Sie zunächst durch Anwendung der Potenzregeln un
> der Regeln für logarithmische Ausdrücke die Funktion in
> einen günstigere Form.
>
> b) Wie lautet das totale Differential an der Stelle
> (x;y)=(-1,0;2,0)
>
> c)Berechnen Sie das totale Differntial dz für den Übergang
> von der Stelle (x;Y)=(-1,0;2,0) zur Stelle (x;y)0(-1,1;2,2)
> sowie zur Stelle (-2,0;4,0). Wie groß ist jeweils die
> Änderung des Funktionswertes [mm]\Delta[/mm] z ?
> Vergleichen Sie die für dz erhaltenen Werte mit den
> entsprechenden [mm]\Delta[/mm] z Werten. Ist dz eine gute Näherung
> für die tatsächliche Änderug [mm]\Delta[/mm] z des Funktionswertes?
> Huhu,
>
> also, wie man das totale Differential bildet, weiß ich im
> Prinzip (partielle ABleitungen, einmal nach x, einmal nach
> y und das Gleichung aufstellen). Mein erstes Problem ist
> jedoch gerade, wie ich am besten diese Funktion umändere,
> dass ich damit auch vernünftig rechnen kann. Statt Wurzel
> kann man ja auch den Term unter der Wurzel hoch 0,5 nehmen.
> Allerding ist das dann ja auch noch die dritte binomische
> Formel, die erstmal weg müsste. Die wäre ja
> a³+3a²b+3ab²+b³. Hmm.. aber mich verwirren die x und y.
> Muss sich ja im Endeffekt auf alles beziehen und nicht nur
> auf die Zahl vor dem x bzw y.
> Kann mir da jemand helfen?
>
> Zu b) Das wäre dann doch im Prinzip nur einsetzen in die
> Formel unter a, oder?
>
> zu c) Da rechne ich dann doch nur mit den Differenzen
> zwischen den beiden Stellen, nicht wahr?
>
> Naja, ich denke, wenn die Formel erst einmal schöner
> ausschaut, dann ist mein größstes Problem erst einmal vom
> Tisch. Wäre super, wenn jemand Licht in mein
> Gedankenwirrwarr aus Rechenregeln bringen könnte. :)
>
> LG und danke schon einmal,
> DarkRose
Hallo DarkRose,
Man kann z so schreiben:
[mm] z=ln\left(\left(2x^2+4y^2\right)^{1.5}\right)=\bruch{3}{2}*ln\left(2x^2+4y^2\right)
[/mm]
Für die partielle Ableitung nach x bekommt man
dann z.B., nach dem Kürzen :
[mm] \bruch{\partial{z}}{\partial{x}}=\bruch{3x}{x^2+2y^2} [/mm]
LG al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Sa 03.01.2009 | | Autor: | DarkRose |
Hey, danke. :)
Herrje... das wird dann ja etwas komplizierter als die partiellen Ableitungen, die ich bisher gemacht habe...
Wo ist denn das 3/2 vor dem ln hin bei der Ableitung? Ist das da im Ergebnis nun schon integriert oder fällt das einfach weg? eigentlich doch nicht....
Wundere mich, wo der Bruchstrich bei der Ableitung herkommt, denn eigentlich ist das ja keiner, ausser der von den 3/2. Hmm...
LG
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Hallo DarkRose,
> Hey, danke. :)
>
> Herrje... das wird dann ja etwas komplizierter als die
> partiellen Ableitungen, die ich b]isher gemacht habe...
>
> Wo ist denn das 3/2 vor dem ln hin bei der Ableitung? Ist
> das da im Ergebnis nun schon integriert oder fällt das
> einfach weg? eigentlich doch nicht....
Das ist schon im Ergebnis integriert.
[mm] \bruch{\partial{z}}{\partial{x}}=\bruch{3}{2}*\bruch{4x}{2x^{2}+4y^{2}}=\bruch{3}{2}*\bruch{2x}{x^{2}+2y^{2}}=\bruch{3x}{x^2+2y^2} [/mm]
> Wundere mich, wo der Bruchstrich bei der Ableitung
> herkommt, denn eigentlich ist das ja keiner, ausser der von
> den 3/2. Hmm...
Der Bruchstich kommt von der Ableitung des ln her.
>
> LG
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo mathepower, du hast den Faktor 2 vor [mm] y^{2} [/mm] vergessen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Sa 03.01.2009 | | Autor: | MathePower |
Hallo Steffi21,
> Hallo mathepower, du hast den Faktor 2 vor [mm]y^{2}[/mm] vergessen,
> Steffi
Danke, hab's korrigiert.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Sa 03.01.2009 | | Autor: | DarkRose |
Danke :)
Ist dann die Ableitung nach y:
9y/x²+2y² ??
Oder ist da ein Fehler drin?
Wenn nicht, wäre dann das totale Differential dz:
3x/x²+2y² + 9y/x²+2y² ??
Oder habe ich da grundsätzlich etwas falsch verstanden?
Wenn nicht, muss ich dann bei b für x und y jeweils nur die Werte einsetzen und ausrechnen oder wie?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Sa 03.01.2009 | | Autor: | DarkRose |
Ich danke dir :))
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> Hallo DarkRose!
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> > Ist dann die Ableitung nach y:
> >
> > 9y/x²+2y² ??
>
> Nicht ganz! Bei mir ergibt [mm]3*2 \ = \ \red{6} \ \not= \ 9[/mm] .
>
>
> > Wenn nicht, wäre dann das totale Differential dz:
> >
> > 3x/x²+2y² + 9y/x²+2y² ??
>
> Wenn Du obigen Fehler korrigierst: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
hallo Darkrose und Loddar,
zunächst fehlen da aber noch Klammern um die
Nenner (bzw. Bruchstrich-Schreibweise) und die
Differentiale, also:
$\ dz\ =\ [mm] \bruch{3x}{x²+2y²}*dx\ [/mm] +\ [mm] \bruch{6y}{x²+2y²}*dy$
[/mm]
schönen Sonntag !
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