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| Aufgabe 1 | Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von de l´Hopital (a [mm] \in \IR):
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow0}=(cos(ka) [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{ka}sin(ka)) [/mm] |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von de l´Hopital (a [mm] \in \IR):
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow a}=(e^{a}-e^{x})tan\bruch{\pi x}{2a} [/mm] |
Hallo, ich brauch leider wieder etwas Hilfe.
Aufgabe 1:
[mm] \limes_{k\rightarrow0}=(cos(ka) [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{ka}sin(ka)) [/mm] =
[mm] \limes_{k\rightarrow0}=(\bruch{cos(ka)ka-\pi sin(ka)}{ka}) \rightarrow \bruch{0}{0}
[/mm]
Das heißt ich muss es einmal ableiten oder?
1. Ableitung: [mm] \bruch{(-sin(ka)\cdot a \cdot ka + cos(ka)\cdot a - \pi cos(ka)\cdot a)\cdot ka - a (cos(ka)ka - \pi sin(ka))}{(ka)^{2}}
[/mm]
Stimmt das bis jetzt? Oder hab ich schon beim Ableiten einen Fehler gemacht?
Das würde dann wieder einen unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0} [/mm] ergeben.
D.h. ich müsste noch die 2. Ableitung machen.
Stimmt die erste Ableitung überhaupt?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von de l´Hopital (a [mm]\in \IR):[/mm]
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> [mm]\limes_{k\rightarrow0}=(cos(ka)[/mm] - [mm]\bruch{\pi}{ka}sin(ka))[/mm]
> Berechnen Sie mit Hilfe der Regel von de l´Hopital (a [mm]\in \IR):[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}=(e^{a}-e^{x})tan\bruch{\pi x}{2a}[/mm]
>
> Hallo, ich brauch leider wieder etwas Hilfe.
>
> Aufgabe 1:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow0}=(cos(ka)[/mm] - [mm]\bruch{\pi}{ka}sin(ka))[/mm] =
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow0}=(\bruch{cos(ka)ka-\pi sin(ka)}{ka}) \rightarrow \bruch{0}{0}[/mm]
>
> Das heißt ich muss es einmal ableiten oder?
Ja, aber du musst Zähler und Nenner getrennt (!!) ableiten
>
> 1. Ableitung: [mm]\bruch{(-sin(ka)\cdot a \cdot ka + cos(ka)\cdot a - \pi cos(ka)\cdot a)\cdot ka - a (cos(ka)ka - \pi sin(ka))}{(ka)^{2}}[/mm]
>
> Stimmt das bis jetzt? Oder hab ich schon beim Ableiten
> einen Fehler gemacht?
Keine Quotientenregel anwenden, sondern [mm]\frac{\text{Zähler}'}{\text{Nenner}'}[/mm] berechnen.
>
> Das würde dann wieder einen unbestimmten Ausdruck
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ergeben.
>
> D.h. ich müsste noch die 2. Ableitung machen.
> Stimmt die erste Ableitung überhaupt?
>
> Lg
Ich würde mir im Übrigen nur das Grenzverhalten des zweiten Summanden, also von [mm]\frac{\pi\sin(ka)}{ka}[/mm] ansehen.
Der erste Summand [mm]\cos(ka)[/mm] strebt ja offensichtlich für [mm]k\to 0[/mm] gegen [mm]\cos(0)=1[/mm]
Dann strebt die Summe nach Grenzwertsätzen gegen die Summe der Einzelgrenzwerte ...
Möglicherweise kennst du [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}[/mm] ?
Das kann helfen ...
Gruß
schachuzipus
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Ja natürlich, danke.
Habs jetzt mal richtig abgeleitet:
[mm] f(k)^{(1)} [/mm] = [mm] \bruch{a\cdot(-ka\cdot sin(ka) + cos(ka) - \pi \cdot cos(ka)}{a}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow0} [/mm] = [mm] \bruch{a \cdot (1 - \pi)}{a}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow0} [/mm] = 1 - [mm] \pi
[/mm]
Und der 1er ist der Summand des cos(ka) und das [mm] -\pi [/mm] ist der Summand vom [mm] \pi [/mm] sin(ka) oder?
$ [mm] \lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z} [/mm] $
hat ja die unbestimmte Form [mm] \bruch{0}{0}. [/mm] Wie kann mir das helfen?
Stimmt mein Ergebnis?
Lg und danke!
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Hallo nochmal,
> Ja natürlich, danke.
>
> Habs jetzt mal richtig abgeleitet:
>
> [mm]f(k)^{(1)}[/mm] = [mm]\bruch{a\cdot(-ka\cdot sin(ka) + cos(ka) - \pi \cdot cos(ka)}{a}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow0}[/mm] [mm]\red{f(k)}[/mm] = [mm]\bruch{a \cdot (1 - \pi)}{a}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow0}[/mm] = 1 - [mm]\pi[/mm]
Kein lim, du hast doch den Grenzprozess schon gemacht!
[mm]\ldots=1-\pi[/mm]
>
> Und der 1er ist der Summand des cos(ka) und das [mm]-\pi[/mm] ist
> der Summand vom [mm]\pi[/mm] sin(ka) oder?
Wenn du es getrennt betrachtest, ist [mm]1[/mm] der GW des Summanden [mm]\cos(ka)[/mm] und [mm]-\pi[/mm] der GW des Summanden [mm]-\frac{\pi\sin(ka)}{ka}[/mm]
>
> [mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}[/mm]
>
> hat ja die unbestimmte Form [mm]\bruch{0}{0}.[/mm] Wie kann mir das
> helfen?
Der obige Limes ist 1, was du mit de l'Hôpital oder mit dem Differenzenquotienten berechnen kannst:
[mm]\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z}=\lim\limits_{z\to 0}\frac{\sin(z)-\sin(0)}{z-0}=\cos(0)=1[/mm]
Dieses Wissen hilft dir insofern, dass [mm]\lim\limits_{k\to 0}\frac{\pi\sin(ka)}{ka}=\pi\cdot{}\lim\limits_{k\to 0}\frac{\sin(ka)}{ka}=\pi\cdot{}1=\pi[/mm]
>
> Stimmt mein Ergebnis?
Ja!
>
> Lg und danke!
Jo, gerne
Gruß
schachuzipus
>
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Alles klar, danke.
Jetz noch zur zweiten Aufgabe.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow a} (e^{a}-e^{x})tan\bruch{\pi x}{2a} [/mm] $
f(x) = [mm] \bruch{(e^{a} - e^{e}) sin(\bruch{\pi x}{2a})}{cos(\bruch{\pi x}{2a})} \rightarrow \limes_{x\rightarrow a} \bruch{0}{0}
[/mm]
[mm] f(x)^{(1)} [/mm] = [mm] \bruch{e^{a} cos(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a} - e^{x}(sin(\bruch{\pi x}{2a}) + cos(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a})}{-sin(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow a} f(x)^{(1)} [/mm] = [mm] \bruch{2a e^{x}}{\pi}
[/mm]
Kann bitte jemand überprüfen ob das stimmt?
Vielen Dank im Voraus.
Lg
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Hallo nochmal,
> Alles klar, danke.
>
> Jetzt noch zur zweiten Aufgabe.
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} (e^{a}-e^{x})tan\bruch{\pi x}{2a}[/mm]
>
> f(x) = [mm]\bruch{(e^{a} - e^{\red{x}}) sin(\bruch{\pi x}{2a})}{cos(\bruch{\pi x}{2a})} \rightarrow \limes_{x\rightarrow a} \bruch{0}{0}[/mm] kleiner Verschreiber
Du musst etwas mit der Schreibweise aufpassen, entweder [mm]\lim\limits_{x\to a}f(x)=\frac{0}{0}[/mm] oder [mm]f(x)\rightarrow \frac{0}{0}[/mm] für [mm]x\to a[/mm], aber nicht so ein Kuddelmuddel!
Alternativ kannst du schreiben: [mm]f(x)=\frac{e^{a}-e^x}{\cot\left(\frac{\pi x}{2a}\right)}[/mm] ...
>
> [mm]f(x)^{(1)}[/mm] = [mm]\bruch{e^{a} cos(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a} - e^{x}(sin(\bruch{\pi x}{2a}) + cos(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a})}{-sin(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f(x)^{(1)}[/mm] = [mm]\bruch{2a e^{x}}{\pi}[/mm]
kleiner Verschreiber, du meinst sicher [mm]\frac{2ae^{\red{a}}}{\pi}[/mm]
Und das ist richtig (zumindest habe ich das auch heraus - allerdings in der anderen Variante mit dem [mm]\cot[/mm] im Nenner ..)
>
> Kann bitte jemand überprüfen ob das stimmt?
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
> > Alles klar, danke.
> >
> > Jetzt noch zur zweiten Aufgabe.
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow a} (e^{a}-e^{x})tan\bruch{\pi x}{2a}[/mm]
>
> >
> > f(x) = [mm]\bruch{(e^{a} - e^{\red{x}}) sin(\bruch{\pi x}{2a})}{cos(\bruch{\pi x}{2a})} \rightarrow \limes_{x\rightarrow a} \bruch{0}{0}[/mm]
> kleiner Verschreiber
>
> Du musst etwas mit der Schreibweise aufpassen, entweder
> [mm]\lim\limits_{x\to a}f(x)=\frac{0}{0}[/mm] oder [mm]f(x)\rightarrow \frac{0}{0}[/mm]
> für [mm]x\to a[/mm], aber nicht so ein Kuddelmuddel!
Ok danke, werd ich mir merken.
>
> Alternativ kannst du schreiben:
> [mm]f(x)=\frac{e^{a}-e^x}{\cot\left(\frac{\pi x}{2a}\right)}[/mm]
> ...
Stimmt. Wäre einfacher gewesen.
>
> >
> > [mm]f(x)^{(1)}[/mm] = [mm]\bruch{e^{a} cos(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a} - e^{x}(sin(\bruch{\pi x}{2a}) + cos(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a})}{-sin(\bruch{\pi x}{2a}) \bruch{\pi}{2a}}[/mm]
>
>
>
>
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> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow a} f(x)^{(1)}[/mm] = [mm]\bruch{2a e^{x}}{\pi}[/mm]
>
> kleiner Verschreiber, du meinst sicher
> [mm]\frac{2ae^{\red{a}}}{\pi}[/mm]
>
Ist das nicht egal? Schließlich gilt hier x [mm] \rightarrow [/mm] a . Ist nicht beides möglich?
Lg
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Hallo nochmal,
> >
> > kleiner Verschreiber, du meinst sicher
> > [mm]\frac{2ae^{\red{a}}}{\pi}[/mm]
> >
> Ist das nicht egal? Schließlich gilt hier x [mm]\rightarrow[/mm] a
> . Ist nicht beides möglich?
Nein, du hast doch davor schon [mm] $x\to [/mm] a$ gehen lassen ...
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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Auweia, stimmt natürlich...
Danke
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