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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:20 Sa 01.02.2014 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Berechnen Sie mit den Regeln von de l’Hospital den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left[\arctan\left(x\right)-\br{\pi}{2}\right]\ln\left(x\right) [/mm] |
Die Lösung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)g(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{f(x)}{g(x)^{-1}}=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x}{1+x^2}\ln^2(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x^2}{1+x^2}\br{\ln^2(x)}{x}=0
[/mm]
Ich würde gerne wissen, was [mm] g(x)^{-1} [/mm] bedeutet (Kehrwert oder Umkehrfunktion?)
Und dann möchte ich gerne wissen, wie der Prof dann weiterrechnete.
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Hallo,
> Berechnen Sie mit den Regeln von de l’Hospital den
> folgenden Grenzwert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left[\arctan\left(x\right)-\br{\pi}{2}\right]\ln\left(x\right)[/mm]
>
> Die Lösung:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)g(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{f(x)}{g(x)^{-1}}=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x}{1+x^2}\ln^2(x)=\limes_{x\rightarrow\infty}\br{-x^2}{1+x^2}\br{\ln^2(x)}{x}=0[/mm]
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> Ich würde gerne wissen, was [mm]g(x)^{-1}[/mm] bedeutet (Kehrwert
> oder Umkehrfunktion?)
Damit ist der Kehrwert gemeint,
er setzt: [mm] f(x)=\arctan\left(x\right)-\br{\pi}{2} [/mm] und [mm] g(x)=\ln(x)
[/mm]
Daher [mm] (f*g)(x)=(f(g^{-1})^{-1})(x)=\frac{f(x)}{(g(x))^{-1}}
[/mm]
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> Und dann möchte ich gerne wissen, wie der Prof dann
> weiterrechnete.
Ableitungen berechnen:
[mm] f'(x)=\frac{1}{1+x^2} [/mm] und [mm] \left(\frac{1}{g(x)}\right)'=-\frac{1}{x\ln^2x}
[/mm]
Damit:
[mm] \frac{f'}{1/g'}=\frac{1}{1+x^2}*\left(-\frac{x\ln^2x}{1}\right)
[/mm]
Jetzt erweitern mit x:
[mm] \frac{f'}{1/g'}=-\frac{x^2}{1+x^2}\frac{\ln^2x}{x}
[/mm]
Nun Grenzwertbetrachtung vom ersten Faktor und vom zweiten Faktor. Beide sind konvergent, daher sind Grenzwertsätze anzuwenden.
[mm] \underbrace{-\frac{x^2}{1+x^2}}_{\to-1}\underbrace{\frac{\ln^2x}{x}}_{\to0}\to0
[/mm]
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