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| Aufgabe | Aus "modern electrochemistry" von Bockris und Reddy
Die Ladungsdichte um ein Zentralion wird beschrieben durch:
[mm] $\rho_r [/mm] = [mm] -\frac{z_i\; e_0}{4\;\Pi}\kappa^2\cdot\frac{e^{-\kappa r}}{r}$
[/mm]
Die Ladungsmenge innerhalb eines kugelförmigen Volumens ist:
$dq = [mm] \rho_r\; 4\;\Pi\; r^2\; [/mm] dr$
Zusammen entspricht dies der Ladung:
$dq = [mm] -z_i\; e_0\;\kappa^2\cdot e^{-\kappa r}\; r\; [/mm] dr$
Das Maximum an Ladungsträgern findet sich bei
[mm] $\frac{dq}{dr} [/mm] = 0$
$ = [mm] \frac{d}{dr}-z_i\; e_0\;\kappa^2\cdot e^{-\kappa r}\; [/mm] r$
...
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Hallo zusammen,
wieso darf man den letzten Schritt so umformen, wie geschehen? Nach meinem Verständnis von Mathe, geht das nicht... Bei mir käme da folgendes raus:
[mm] $\frac{dq}{dr} [/mm] = 0 = [mm] -z_i\; e_0\;\kappa^2\cdot e^{-\kappa r}\; [/mm] r$
... also ohne der Ableitung nach dr.
Aber was sie im Buch gerechnet haben (oben) scheint richtig zu sein, denn das Ergebnis wird im Buch diskutiert, und das nicht zu knapp.
Kann mir das jemand erklären?
Vielen herzlichen Dank,
miniscout ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mo 01.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo miniscout
> Aus "modern electrochemistry" von Bockris und Reddy
>
> Die Ladungsdichte um ein Zentralion wird beschrieben
> durch:
>
> [mm]\rho_r = -\frac{z_i\; e_0}{4\;\Pi}\kappa^2\cdot\frac{e^{-\kappa r}}{r}[/mm]
>
> Die Ladungsmenge innerhalb eines kugelförmigen Volumens
> ist:
>
> [mm]dq = \rho_r\; 4\;\Pi\; r^2\; dr[/mm]
das ist so falsch! das ist die Ladungsmenge in einer Kugelschale vom Rasius r und der Dicke dr
> Zusammen entspricht dies der Ladung:
>
> [mm]dq = -z_i\; e_0\;\kappa^2\cdot e^{-\kappa r}\; r\; dr[/mm]
>
> Das Maximum an Ladungsträgern findet sich bei
Das muss doch Ladungsträger pro Volumen oder sowas sein.
wenn du hier formal [mm] \frac{dq}{dr} [/mm] hinschreibst ist das die Menge pro dr beim Rasius r, und davon willst du wahrscheinlich das Max.
Hast du das wirklich wörtlich abgeschrieben? gibts da vielleicht kleine und grosse q ,Q?
> [mm]\frac{dq}{dr} = 0[/mm]
>
> [mm]= \frac{d}{dr}-z_i\; e_0\;\kappa^2\cdot e^{-\kappa r}\; r[/mm]
>
> ...
>
> Hallo zusammen,
>
> wieso darf man den letzten Schritt so umformen, wie
> geschehen? Nach meinem Verständnis von Mathe, geht das
> nicht... Bei mir käme da folgendes raus:
>
> [mm]\frac{dq}{dr} = 0 = -z_i\; e_0\;\kappa^2\cdot e^{-\kappa r}\; r[/mm]
>
> ... also ohne der Ableitung nach dr.
>
> Aber was sie im Buch gerechnet haben (oben) scheint richtig
> zu sein, denn das Ergebnis wird im Buch diskutiert, und das
> nicht zu knapp.
>
> Kann mir das jemand erklären?
So wie es da steht nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mo 01.03.2010 | | Autor: | miniscout |
Hallo leduart,
danke für deine schnelle Antwort.
Das Buch ist auf Englisch, also die Formeln sind abgeschrieben, der Text improvisiert. Aber du hast recht, es handelt sich nicht um ein Kugelvolumen, sondern um eine Schale der Dicke dr im Abstand r des Zentralions. Sorry.
In dem Buch steht wörtlich:
It is seen from Eqs. (3.35) and (3.36) that the net charge in a sperical shell of thickness dr and at a distance r from the origin is
$dq = [mm] -z_i\; e_0\; e^{-\kappa r}\;\kappa^2\; r\; [/mm] dr$
Mehr steht in dem Buch auch nicht dazu...
Hat sonst wer eine Ahnung, einen Tipp?
Gruß miniscout
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Mo 01.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was steht da engl, wo du geschrieben hast :" Das Maximum an Ladungsträgern"
dieser Ausdruck macht doch nicht viel Sinn. es muss doch ne Ladungstrgerdichte oder sowas sein?
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Di 02.03.2010 | | Autor: | miniscout |
Hallo leduart,
an dieser Stelle steht:
"Thus, the excess charge on a sperical shell varies with r and has a maximum value for a valure of r given by
$0 = [mm] \frac{dq}{dr}$
[/mm]
$ = [mm] \frac{d}{dr}[-z_ie_0\kappa^2(e^{-\kappa r}r)]$
[/mm]
$ = [mm] -z_ie_0\kappa^2\frac{d}{dr}(e^{-\kappa r}r)$
[/mm]
$ = [mm] -z_ie_0\kappa^2(e^{-\kappa r}-\kappa [/mm] r [mm] e^{-\kappa r})$ [/mm] (3.41)
Since [mm] (z_ie_0\kappa^2) [/mm] is finite, Eq. (3.41) can be true only when
$0 = [mm] e^{-\kappa r}-\kappa [/mm] r [mm] e^{-\kappa r}$
[/mm]
or
$r = [mm] \kappa^{-1}$
[/mm]
r (auch [mm] $r_D$) [/mm] ist der Debye-Radius (auch Debye-Hückel-length).
Hilft dir das irgendwie weiter?
Die angegebene Ladungsträgerdichte [mm] $\rho_r$ [/mm] ist eine zeitlich gemittelte Dichte an Ionen um den Ursprung (das Zentralion). q müsste nach der Integration eigentlich nur noch eine Ladung sein, keine Dichte mehr oder?
Vielen Dank für deine Mühe,
miniscout
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 05.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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