Deckung mit offenen Intervalen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es existiert natürliche Zahl n, so dass [mm] [a,b]\subset\bigcup_{i=1}^{n}(a_i,b_i)
[/mm]
Beweise durch Induktion nach n, dass [mm] b-a\le\summe_{i=1}^{n}(b_i-a_i) [/mm] |
Induktionsanfang ist klar, aber hätte jemand einen Tipp zum Induktionsschritt? Wäre dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Do 11.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Induktionsanfang ist klar, aber hätte jemand einen Tipp
> zum Induktionsschritt? Wäre dankbar.
Wenn wir ihn von $n$ nach $n+1$ führen: Wir müssen uns irgendwie aus den $n+1$ Intervallen $n$ Intervalle konstruieren, die $[a,b]$ überdecken. Eine schöne Idee ist mir dazu leider nicht gekommen. Aber es geht auf jeden Fall folgendermaßen:
Sei [mm] $j\in\{1,\ldots,n+1\}$, [/mm] für das [mm] $a_j$ [/mm] minimal ist. Unterscheide nun die Fälle:
1. [mm] $b_j>b$: [/mm] Dann kannst du die behauptete Ungleichung ohne Verwendung der Induktionsvoraussetzung zeigen.
2. [mm] $b_j
3. [mm] $b_j\in[a,b]$: [/mm] Wähle [mm] $k\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $b_j\in(a_k,b_k)$. [/mm] Ersetze in der Überdeckung das j-te und das k-te Intervall durch [mm] $(a_j,b_k)$.
[/mm]
Sollten meine Ausführungen etwas knapp geraten sein: Einfach nachfragen.
Viele Grüße
Tobias
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