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Def. einer injektiven Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:22 Mo 01.11.2010
Autor: durden88

Aufgabe
Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der unendlichen Teilmengen von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IN [/mm]

Hallo liebe Mathefreunde,

ich versuche mal einen Ansatz zu machen. Also Injektiv, linksdeutigkeit , (z.B. x [mm] \to 2x).\IN [/mm] ist ja unendlich.

So jetzt hört es schon bei mir auf. Wie genau wollen die das definiert haben...

vielen Dank im Voraus!

        
Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Mo 01.11.2010
Autor: fred97

Sei ${N}:= [mm] \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}$ [/mm]

Du sollst nun eine injektive Funktion $f: {N} [mm] \to \IN$ [/mm]  finden

Bezug
                
Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:56 Mo 01.11.2010
Autor: durden88


> Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]

Also wenn A Teilmenge von [mm] \IN [/mm] ist und und A undendlich viele Elemente hat, muss [mm] \IN [/mm] ja min. 1 mehr haben als das unendliche von  [mm] \IN? [/mm]

> Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]  
> finden

Wie finde ich sie denn genau? Vielleicht wie bei meinem Beispiel bei der Zielmenge einen beliebigen Faktor dran hängen?

Bezug
                        
Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Mo 01.11.2010
Autor: fred97


> > Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]
>  
> Also wenn A Teilmenge von [mm]\IN[/mm] ist und und A undendlich
> viele Elemente hat, muss [mm]\IN[/mm] ja min. 1 mehr haben als das
> unendliche von  [mm]\IN?[/mm]

Was ist los?  [mm] \IN [/mm] gehört auch zu N


>  > Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]  

> > finden
> Wie finde ich sie denn genau?


Vielleicht probierst Du ein wenig herum ?

>  Vielleicht wie bei meinem
> Beispiel bei der Zielmenge einen beliebigen Faktor dran
> hängen?

.....was immer Du damit meinst ....


Bezug
                                
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Def. einer injektiven Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Mo 01.11.2010
Autor: durden88

Hmm, sry ich versteh das nicht so richtig. Wenn ich eine injektive Funktion haben möchte, dann is das doch z.B. x [mm] \to [/mm] 2x oder? Ist dies schon eine Teillösung? Oder was wollen die genau von mir wissen?

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Def. einer injektiven Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Mo 01.11.2010
Autor: Marc

Hallo durden,

> Hmm, sry ich versteh das nicht so richtig. Wenn ich eine
> injektive Funktion haben möchte, dann is das doch z.B. x
> [mm]\to[/mm] 2x oder?

Das wäre zwar eine injektive Funktion, allerdings eine [mm] $\IN\to\IN$ [/mm] (also eine, die einer natürlichen Zahl eine natürlich Zahl zuordnet).

> Ist dies schon eine Teillösung? Oder was

Nein, denn...

> wollen die genau von mir wissen?

... du sollst eine injektive Funktion [mm] $N\to\IN$ [/mm] finden (siehe Freds Definition von $N$!), also eine Funktion, die einer unendlichen Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] eine natürliche Zahl zuordnet:

[mm] $A\mapsto [/mm] n$, wobei [mm] $A\subset\IN$, $|A|=\infty$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$. [/mm]

Diese Funktion muss also beispielsweise der Menge [mm] $A:=\{n\in\IN\ :\ n\text{ gerade }\}$ [/mm] eine natürliche Zahl zuordnen.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                                
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Def. einer injektiven Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Mo 01.11.2010
Autor: durden88

Besten Dank schonmal für eure Hilfe. Aber wenn meine Teilmenge unendlich ist, ist das dann nicht die Funktion [mm] \N \to \N [/mm] . Ich mein, was hat denn dann [mm] \N [/mm] was N nicht hat?

Bezug
                                                        
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Def. einer injektiven Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Mo 01.11.2010
Autor: Marc

Hallo durden,

> Besten Dank schonmal für eure Hilfe. Aber wenn meine
> Teilmenge unendlich ist, ist das dann nicht die Funktion [mm]\N \to \N[/mm]
> . Ich mein, was hat denn dann [mm]\N[/mm] was N nicht hat?

Ich nehme an, du meintest es so (bitte Vorschau benutzen beim Artikelschreiben):

> Teilmenge unendlich ist, ist das dann nicht die Funktion [mm]\red{N} \to \red{N}[/mm]
> . Ich mein, was hat denn dann [mm]\red{N}[/mm] was [mm] $\red{\IN}$ [/mm] nicht hat?

Die Aufgabenstellung lautete doch:
Aufgabe
Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der unendlichen Teilmengen von $ [mm] \IN [/mm] $ nach $ [mm] \IN [/mm] $



Also [mm] $N\to\IN$ [/mm] und nicht [mm] $N\to [/mm] N$ und auch nicht [mm] $\IN\to\IN$. [/mm]

$N$ und [mm] $\IN$ [/mm] sind doch zwei ganz unterschiedliche Mengen. $N$ ist eine Menge von Teilmengen von [mm] $\IN$, [/mm] also eine Menge, die Mengen von natürlichen Zahlen als Elemente enthält. Zum Beispiel
[mm] $N=\{\{n\in\IN\ :\ n\text{ gerade}\}, \{n\in\IN\ :\ n\text{ ungerade}\}, \{n\in\IN\ :\ n\text{ durch 3 teilbar}\}, \ldots\}$ [/mm]

[mm] $\IN$ [/mm] ist aber die Menge der natürlichen Zahlen, also
[mm] $\IN=\{1,2,3,4,\ldots\}$ [/mm]

Beachte auch meine Frage nach dem Kontext der Aufgabe in meinem anderen Beitrag.

Viele Grüße,
Marc

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Def. einer injektiven Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:13 Mo 01.11.2010
Autor: durden88

´´Sei A ⊆ N. Dann ist A genau dann endlich,wenn es keine echte Teilmenge D ⊆ A
gibt mit
• es existiert eine Injektion f : A → D´´

Sei A eine unendliche Menge. Dann existiert eine Injektion f : N → A.

Hab ich es damit geschafft? :)

Zusatz: Also müssen die Elemente von N und [mm] \IN [/mm] mindestens genausogroß sein [mm] \IN \ge [/mm] N ?

Bezug
                                                                        
Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Mo 01.11.2010
Autor: Marc

Hallo durden,

> ´´Sei A ⊆ N. Dann ist A genau dann endlich,wenn es
> keine echte Teilmenge D ⊆ A
>  gibt mit
>  • es existiert eine Injektion f : A → D´´

Ich nehme an, hier steht $N$ für die natürlichen Zahlen [mm] $\IN$? [/mm]
Mit diesem Satz kannst du also feststellen, wann eine Teilmenge von [mm] $\IN$ [/mm] endlich bzw. unendlich ist.

> Sei A eine unendliche Menge. Dann existiert eine Injektion
> f : N → A.
>  
> Hab ich es damit geschafft? :)

Häh? Ich sehe weder Sinn an sich noch einen Zusammenhang mit der Fragestellung. Aber "geschafft" hättest du es doch nur dann, wenn du eine Injektion angibst (oder argumentierst, warum keine existiert).

> Zusatz: Also müssen die Elemente von N und [mm]\IN[/mm] mindestens
> genausogroß sein [mm]\IN \ge[/mm] N ?

Keine Ahnung, was du damit ausdrücken willst. $N$ ist jetzt wieder Freds Definition?

Bevor du weiteres postest, gehe bitte auf meine Kontext-Frage ein, oder stelle konkrete Fragen zu dem, was Frad und ich bereits geschrieben haben. Es scheint, du hättest das noch gar nicht gelesen oder verstanden.

Viele Grüße,
Marc

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Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Mo 01.11.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]
>  
> Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]  
> finden


Sorry Fred,

die Bezeichnung dieser Menge mit dem Buchstaben N
halte ich nicht für eine glückliche Entscheidung - es
gäbe doch noch ein paar Buchstaben, die man weniger
leicht mit [mm] \IN [/mm] verwechselt ....

LG     Al      :-)




Bezug
                        
Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:39 Di 02.11.2010
Autor: fred97


> > Sei [mm]{N}:= \{A: A ~ist ~Teilmenge ~von ~ \IN, ~A ~ hat~ unendlichviele ~ Elemente ~\}[/mm]
>  
> >  

> > Du sollst nun eine injektive Funktion [mm]f: {N} \to \IN[/mm]  
> > finden
>
>
> Sorry Fred,
>  
> die Bezeichnung dieser Menge mit dem Buchstaben N
>  halte ich nicht für eine glückliche Entscheidung - es
>  gäbe doch noch ein paar Buchstaben, die man weniger
>  leicht mit [mm]\IN[/mm] verwechselt ....
>  
> LG     Al      :-)
>  
>
>  

Hallo Al,

ich stimme Dir zu

Bezug
        
Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Kontext?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:45 Mo 01.11.2010
Autor: Marc

Hallo durden,

> Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der
> unendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm]

interessant für weitere Hilfestellungen ist auch noch, in welchem Kontext diese Fragestellung aufgetaucht ist, also der Titel der Vorlesung, das aktuelle Thema und ggfs. die komplette Aufgabenstellung. Mit diesem Wissen kann die Suche nach einer solchen Funktion nämlich recht abrupt beendet werden... ;-)

Viele Grüße,
Marc

Bezug
        
Bezug
Def. einer injektiven Funktion: Mächtigkeiten
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Mo 01.11.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Definieren Sie eine injektive Funktion von der Menge der
> unendlichen Teilmengen von [mm]\IN[/mm] nach [mm]\IN[/mm]

> Hallo liebe Mathefreunde,
>  
> ich versuche mal einen Ansatz zu machen. Also Injektiv,
> linksdeutigkeit , (z.B. x [mm]\to 2x).\IN[/mm] ist ja unendlich.

du meinst wohl Linkseindeutigkeit


Hallo durden88,

ich vermute, dass du diese Aufgabe im Zusammenhang mit
dem Thema "Mächtigkeit von Mengen" bekommen hast.
K(aum )ein Schwein konstruiert nämlich eine solche Menge
mit einer anderen Absicht.
Ich empfehle dir deshalb, dich mit den Mächtigkeiten der
beteiligten Mengen zu beschäftigen.


LG     Al-Chwarizmi



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