Definitheit einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: Eine symmetrische Matrix A = [mm] (a_{ij}) [/mm] ∈ [mm] M_{2}(\IR) [/mm] ist genau dann positiv definit, wenn [mm] a_{11} [/mm] > 0 und det A > 0 ist. |
Hallo,
ich bin mir bei dieser Aufgabe irgendwie nen bischen unklar darüber, was gezeigt werden soll:
es geht ja offenbar um folgende matrix: [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} } [/mm] , oder?
die matrix ist aber doch positiv definit, wenn ihre minoranten größer 0 sind, hier also:
[mm] A_{1} [/mm] := [mm] a_{11}
[/mm]
det [mm] A_{1} [/mm] = [mm] a_{11} [/mm] > 0 (laut Aufgabenstellung)
[mm] A_{2} [/mm] := [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }
[/mm]
det [mm] A_{2} [/mm] = det A > 0 (ebenfals laut Aufgabenstellung)
was soll ich also zeigen, wenn schon alles vorgegeben ist bzw. wo ist mein fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Man zeige: Eine symmetrische Matrix A = [mm](a_{ij})[/mm] ∈
> [mm]M_{2}(\IR)[/mm] ist genau dann positiv definit, wenn [mm]a_{11}[/mm] > 0
> und det A > 0 ist.
> Hallo,
> ich bin mir bei dieser Aufgabe irgendwie nen bischen
> unklar darüber, was gezeigt werden soll:
>
> es geht ja offenbar um folgende matrix: [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
> , oder?
>
> die matrix ist aber doch positiv definit, wenn ihre
> minoranten größer 0 sind, hier also:
>
> [mm]A_{1}[/mm] := [mm]a_{11}[/mm]
> det [mm]A_{1}[/mm] = [mm]a_{11}[/mm] > 0 (laut Aufgabenstellung)
>
> [mm]A_{2}[/mm] := [mm]\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }[/mm]
> det
> [mm]A_{2}[/mm] = det A > 0 (ebenfals laut Aufgabenstellung)
>
> was soll ich also zeigen, wenn schon alles vorgegeben ist
> bzw. wo ist mein fehler?
Das kommt darauf an, wie ihr die positive definitheit ursprünglich definiert habt, zum Beispiel über [mm] $x\cdot Ax\ge [/mm] 0, [mm] \forall x\in \IR^n$ [/mm] und [mm] $x\cdot [/mm] Ax=0$ genau für $x=0$. Dann musst du halt diese eigenschaft aus deinen voraussetzungen folgern.
Gruß
Matthias
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wieso kann ich es nicht über die minoranten zeigen? ist doch egal, wie wir es in der vorlesung gemacht haben oder geht das hier nicht?
wir haben es schon über die Bilinearform bewiesen, aber das hab ich nicht wirklich verstanden. als beispiel dafür hatten wir auch nur folgendes:
sei b(x,y) = [mm] x^{t}*D*y [/mm] x,y [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
mit D = [mm] \pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{n}} \Rightarrow [/mm] q(x) = [mm] x^{t}*D*x \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}^{2}
[/mm]
also q oder D positiv definit [mm] \Rightarrow \lambda_{i} [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] i
vielleicht reicht es mir ja, wenn du mir das irgendwie näher bringen kannst, diese Bilinearform ist mir nämlich noch ein Rätsel.
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Hallo HerrPythagoras,
> wieso kann ich es nicht über die minoranten zeigen? ist
> doch egal, wie wir es in der vorlesung gemacht haben oder
> geht das hier nicht?
Die heißen Hauptminoren oder?
> wir haben es schon über die Bilinearform bewiesen, aber das
> hab ich nicht wirklich verstanden. als beispiel dafür
> hatten wir auch nur folgendes:
> sei b(x,y) = [mm]x^{t}*D*y[/mm] x,y [mm]\in \IR^{n}[/mm]
>
> mit D = [mm]\pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{n}} \Rightarrow[/mm]
> q(x) = [mm]x^{t}*D*x \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}^{2}[/mm]
>
> also q oder D positiv definit [mm]\Rightarrow \lambda_{i}[/mm] > 0
> [mm]\forall[/mm] i
Der Trick ist einfach auszumultiplizieren(Matrix mal Vektor)
[mm]q(x,x) =x^{t}*D*x=\pmat{x_1 & \ldots & x_n}*\pmat{ \lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{n}}*\vektor{x_1 \\ \vdots \\ x_n}=\pmat{x_1 & \ldots & x_n}*\vektor{\lambda_1*x_1 \\ \vdots \\ \lambda_n*x_n}= \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}^{2}[/mm]
Da nun [mm] x_i^2 [/mm] größer als null ist müssen die [mm] \lambda_i [/mm] alle größer null sein damit das ganze pos. definit ist. Wenn z.B. [mm] \lambda_1=-1 [/mm] wird x^TDx für [mm] x=\pmat{1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0} [/mm] negativ.
Für Deine Aufgabe kannst Du ja erstmal genauso ausmultiplizieren und schauen was rauskommt.
viele Grüße
mathemaduenn
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hallo mathemaduenn,
dann fehlte vor dem summenzeichen also nur ein gleichheitszeichen?! ok, dann ist mir das soweit klar, danke. jetzt hab ich das aber soweit gemacht und komm wieder nicht weiter:
q(x) = [mm] a_{11}x_{1}^{2}+(a_{12}+a_{21})x_{1}x_{2}+a_{22}x_{2}^{2}
[/mm]
hab ich nach der multiplikation raus. ok, der erste therm muss größer 0 sein, das ist klar. der letzte wird auch nur größer null, wenn [mm] a_{22} [/mm] größer null ist, auch klar. aber was mach ich mit dem rest? wie kann ich zeigen, dass das größer 0 ist bzw. kleiner als [mm] a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2} [/mm] ? es wird wohl was mit det A > 0 zu haben, aber was? aus [mm] a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21} [/mm] > 0 kann ich das irgendwie nicht sehen...
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Hallo HerrPythagoras,
Zunächstmal ist die Symmetrie der Matrix wesentlich. D.h.
[mm] a_{12}=a_{21}
[/mm]
Vielleicht hilft dir das ja schon weiter.
viele Grüße
mathemaduenn
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