Definition Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir haben mit Ableitungen angefangen und ich habe direkt eine Frage dazu:
Erstmal unsere Definition:
Sei I ein Intervall. Eine Funktion f: I [mm] \to \IC [/mm] heißt differenzierbar in [mm] x_0 \in [/mm] I, wenn der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert und endlich ist. Dieser heißt dann Ableitung von f in [mm] x_0.
[/mm]
Jetzt wurde in der Vorlesung aber noch folgendes gesagt:
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
[/mm]
Mein Beweis sieht so aus:
Ich möchte das mit dem Folgenkriterium beweisen.
Sei [mm] (x_n) \subset I\setminus\{x_0\} [/mm] mit [mm] x_n \to x_0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}
[/mm]
Setze [mm] a_n [/mm] := [mm] x_n [/mm] - [mm] x_0 \to [/mm] 0. Dann ist [mm] x_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] x_0.
[/mm]
Es folgt: [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{f(a_n + x_0)-f(x_0)}{a_n} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h + x_0)-f(x_0)}{h}
[/mm]
Kann man das so machen? Ich bin mir bei dem letzten Gleichheitszeichen nicht sicher.
Grüsse
Alexander
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> Hallo,
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> wir haben mit Ableitungen angefangen und ich habe direkt
> eine Frage dazu:
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> Erstmal unsere Definition:
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> Sei I ein Intervall. Eine Funktion f: I [mm]\to \IC[/mm] heißt
> differenzierbar in [mm]x_0 \in[/mm] I, wenn der Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
> existiert und endlich ist. Dieser heißt dann Ableitung von
> f in [mm]x_0.[/mm]
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> Jetzt wurde in der Vorlesung aber noch folgendes gesagt:
>
> [mm]f'(x_0)[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
>
> Mein Beweis sieht so aus:
>
> Ich möchte das mit dem Folgenkriterium beweisen.
>
> Sei [mm](x_n) \subset I\setminus\{x_0\}[/mm] mit [mm]x_n \to x_0[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}[/mm]
>
> Setze [mm]a_n[/mm] := [mm]x_n[/mm] - [mm]x_0 \to[/mm] 0. Dann ist [mm]x_n[/mm] = [mm]a_n[/mm] + [mm]x_0.[/mm]
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> Es folgt: [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{f(a_n + x_0)-f(x_0)}{a_n}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h + x_0)-f(x_0)}{h}[/mm]
>
> Kann man das so machen? Ich bin mir bei dem letzten
> Gleichheitszeichen nicht sicher.
>
> Grüsse
> Alexander
Hallo Alexander,
um zu zeigen, dass diese beiden Definitionen äquivalent
sind, ist es nicht mal nötig, auf den Grenzwertbegriff
bei Folgen zurückzugreifen.
Es genügt die einfache Substitution:
$\ h:=\ [mm] x\,-\,x_0$
[/mm]
bzw.
$\ x:=\ [mm] x_0\,+\,h$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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Ja, das hatte ich mir auch schon gedacht. Ich möchte aber genau verstehen, warum man das so machen kann. Also welche Regeln erlauben mir, dass ich diese Substitution durchführen darf, sodass am Ende derselbe Grenzwert rauskommt?
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Hallo,
zweierlei: Ist $ [mm] (x_n) [/mm] $ eine folge komplexer Zahlen mit $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $, so gilt $ [mm] \lim (x_n [/mm] - [mm] x_0) [/mm] = 0 $ bzw $ [mm] x_n [/mm] - [mm] x_0 \to [/mm] 0 $.
$ [mm] x_n \to x_0 \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_0| [/mm] = [mm] |(x_n [/mm] - [mm] x_0) [/mm] - 0 | < [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ \ n [mm] \ge [/mm] N $
Setzt man $ [mm] x_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm] := h $ ist $ [mm] x_n \to [/mm] x $ äquivalent zu $ h [mm] \to [/mm] 0 $.
Hilft das?
Viele Grüße
ChopSuey
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> Hallo,
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> zweierlei: Ist [mm](x_n)[/mm] eine folge komplexer Zahlen mit [mm]x_n \to x_0 [/mm],
> so gilt [mm]\lim (x_n - x_0) = 0[/mm] bzw [mm]x_n - x_0 \to 0 [/mm].
>
> [mm]x_n \to x_0 \gdw \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \IN : |x_n - x_0| = |(x_n - x_0) - 0 | < \varepsilon[/mm]
> für alle [mm]\ n \ge N[/mm]
>
> Setzt man [mm]x_n - x_0 := h[/mm] ist [mm]x_n \to x[/mm] äquivalent zu [mm]h \to 0 [/mm].
>
> Hilft das?
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
Hallo ChopSuey,
da von einer Funktion $\ f:\ [mm] I\,\mapsto\ \IC$ [/mm] mit einem
Intervall I die Rede war, soll man für die x doch
wohl gar nicht Zahlen aus [mm] \IC [/mm] einsetzen, sondern nur
solche aus [mm] I\subset\IR [/mm] !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Mo 15.04.2013 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Al,
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> Hallo ChopSuey,
>
> da von einer Funktion [mm]\ f:\ I\,\mapsto\ \IC[/mm] mit einem
> Intervall I die Rede war, soll man für die x doch
> wohl gar nicht Zahlen aus [mm]\IC[/mm] einsetzen, sondern nur
> solche aus [mm]I\subset\IR[/mm] !
Ja, richtig. Ich habe das ganze allerdings für komplexe Zahlen aufgeschrieben, da der Konvergenzbegriff in diesem Fall ohne weiteres auf $ [mm] \IR [/mm] $ übertragen kann und über $ I $ keine Aussagen gemacht wurden.
>
> LG , Al-Chw.
>
Viele Grüße,
ChopSuey
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Sorry, dass ich mich jetzt erst melde.
Ich hatte geschrieben, dass I ein Intervall ist.
Aber ich habe jetzt verstanden, warum man substituieren darf. Danke!
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