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Hallo,
also ich habe ein Problem mit der Definition des Eigenraumes. Zum einen habe ich gelesen, dass ein Eigenraum ein Untervektorraum ist, der von den Eigenvektoren eines Eigenwertes gebildet wird. Mit dieser Aussage kann ich noch etwas anfangen.
Denn das würde doch bedeuten, dass ein Eigenraum zu einem bestimmten Eigenwert [mm] \lambda [/mm] , der Vektorraum ist, der aus allen Vektoren besteht, die durch Linearkombination der Eigenvektoren von [mm] \lambda [/mm] gebildet werden kann. Ist das richtig so? Oder habe ich hier schon etwas falsch verstanden?
Andererseits steht im Skript folgendes:
Sei f: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus, und sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von f, dann gilt:
[mm] E(\lambda) [/mm] = { u [mm] \in [/mm] V | u ist Eigenvektor von f zum Eigenwert [mm] \lambda} \cup [/mm] {0}
Würde laut dieser Aussage der Eigenraum nicht einfach die Menge sein, die aus den Eigenvektoren von [mm] \lambda [/mm] besteht plus dem Nullvektor ? Aber das wiederspricht sich doch mit der Aussage von oben, oder?
Als drittes habe ich noch gelesen, dass der Eigenraum [mm] E(\lambda) [/mm] = Kern(f - [mm] \lambda id_V) [/mm] ist. Unter dieser Definition kann ich mir gar nichts vorstellen. Ich weiß zwar was ein Kern ist, aber ansonsten kann ich mit der Aussage wenig anfangen.
Kann mir vielleicht jemand dabei helfen, den Begriff des Eigenraumes besser zu verstehen?
Vielen Dank schon mal!
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Für eine Linearkombination zweier Eigenvektoren [mm] $x_1, x_2$ [/mm] zum Eigenwert [mm] $\lambda$ gilt:$$f(\alpha_1 x_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 x_2) [/mm] = [mm] \alpha_1f(x_1) [/mm] + [mm] \alpha_2f(x_2) [/mm] = [mm] \alpha_1\lambda x_1 [/mm] + [mm] \alpha_2\lambda x_2 [/mm] = [mm] \lambda(\alpha_1x_1 [/mm] + [mm] \alpha_2x_2)$$Daher [/mm] sind Linearkombinationen von Eigenvektoren selbst wieder Eigenvektoren und folglich auch in der Menge aus deiner zweiten Definition enthalten.
Außerdem gilt für einen Eigenvektor x von f zum Eigenwert [mm] $\lambda$: [/mm] $$(f - [mm] \lambda id_V)x [/mm] = f(x) - [mm] \lambda id_V(x) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] x - [mm] \lambda [/mm] x = 0$$Also ist jeder Eigenvektor im besagtem Kern enthalten. Das dieses für Nicht-Eigenvektoren nicht gilt ist offensichtlich.
Gruß, Andreas
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