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| Aufgabe | Eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] in [mm] \IK [/mm] heißt
1. beschränkt, falls ein M>0 existiert mit [mm] |a_{n}| \le [/mm] M (n [mm] \in \IN). [/mm] (Andernfalls heißt [mm] (a_{n}) [/mm] unbeschränkt.)
2. Cauchy-Folge, falls zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] N_{\epsilon} \in \IN [/mm] existiert mit
[mm] |a_{n} - a_{m}| < \epsilon[/mm] für alle $n,m [mm] \ge N_{\epsilon}$.
[/mm]
3. konvergent, falls ein $a [mm] \in \IK$ [/mm] so existiert, dass zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N_{\epsilon}\in\IN$ [/mm] existiert mit
[mm] [center]$|a_{n}-a|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge N_{\epsilon}$.[/center]
[/mm]
Die Zahl a heißt dann Grenzwert von [mm] (a_{n}) [/mm] und wir schreiben
[mm] $a=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}$ [/mm] oder kurz [mm] $a_{n} \to [/mm] a (n [mm] \to \infty)$ [/mm]
(Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.) |
Ich lerne gerade fürs Vordiplom. Wollte mich demnächst zur Prüfung anmelden. Nun ist der Prof, bei dem ich den Schein gemacht habe, nicht mehr an der Uni und ich musste mir einen anderen Prüfer suchen. Der will aber natürlich lieber seinen Stoff prüfen. Also arbeite ich sein Skript durch und da ich gehört habe, dass er besonders Zusammenhänge abprüft, will ich sicher gehen, dass ich alles verstanden habe, bevor ich mich prüfen lasse.
Die Beschränktheit habe ich noch problemlos verstanden. Die Konvergenz nicht vollständig. Aber bei der Definition der Cauchy-Folge blicke ich nicht durch. Ich würde mich freuen, wenn sich jemand finden würde, der mir das erklärt.
Die Konvergenz hatte ich mal in der Schule. Das bedeutet doch, die (ich glaube unendliche) Folge nähert sich einem Wert immer näher an. Meist ist das dann [mm] +\infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] oder 0. Da hatten wir auch eine nette Kurve dazu in der Schule. Also deshalb glaube ich, dass ich es verstanden habe.
Kann es sein, dass jede beschränkte Folge auch konvergent ist?
Danke schon mal für die Antworten.
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Hallo Jennifer,
> Eine Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IK[/mm] heißt
>
> 1. beschränkt, falls ein M>0 existiert mit [mm]|a_{n}| \le[/mm] M
> (n [mm]\in \IN).[/mm] (Andernfalls heißt [mm](a_{n})[/mm] unbeschränkt.)
>
> 2. Cauchy-Folge, falls zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein
> [mm]N_{\epsilon} \in \IN[/mm] existiert mit
> [mm]|a_{n} - a_{m}| < \epsilon[/mm] für alle [mm]n,m \ge N_{\epsilon}[/mm].
>
> 3. konvergent, falls ein [mm]a \in \IK[/mm] so existiert, dass zu
> jedem [mm]\epsilon > 0[/mm] ein [mm]N_{\epsilon}\in\IN[/mm] existiert mit
> [mm]|a_{n}-a|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N_{\epsilon}[/mm].
> Die
> Zahl a heißt dann Grenzwert von [mm](a_{n})[/mm] und wir schreiben
> [mm]a=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] oder kurz [mm]a_{n} \to a (n \to \infty)[/mm]
> (Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.)
> Ich lerne gerade fürs Vordiplom. Wollte mich demnächst
> zur Prüfung anmelden. Nun ist der Prof, bei dem ich den
> Schein gemacht habe, nicht mehr an der Uni und ich musste
> mir einen anderen Prüfer suchen. Der will aber natürlich
> lieber seinen Stoff prüfen. Also arbeite ich sein Skript
> durch und da ich gehört habe, dass er besonders
> Zusammenhänge abprüft, will ich sicher gehen, dass ich
> alles verstanden habe, bevor ich mich prüfen lasse.
>
> Die Beschränktheit habe ich noch problemlos verstanden.
> Die Konvergenz nicht vollständig. Aber bei der Definition
> der Cauchy-Folge blicke ich nicht durch. Ich würde mich
> freuen, wenn sich jemand finden würde, der mir das
> erklärt.
>
> Die Konvergenz hatte ich mal in der Schule. Das bedeutet
> doch, die (ich glaube unendliche) Folge nähert sich einem
> Wert immer näher an. Meist ist das dann [mm]+\infty[/mm] oder
> [mm]-\infty[/mm] oder 0. Da hatten wir auch eine nette Kurve dazu in
> der Schule. Also deshalb glaube ich, dass ich es verstanden
> habe.
Naja, so wie du dies schilderst klingt dies aber noch nicht
gerade vordiplomreif ...
> Kann es sein, dass jede beschränkte Folge auch konvergent
> ist?
Nein, keinesfalls ! Das Umgekehrte gilt: Jede konvergente
Folge ist beschränkt. Ferner: Jede monotone und beschränkte
Folge ist konvergent.
> Danke schon mal für die Antworten.
Zum Thema Cauchy-Folgen:
Normalerweise muss man für einen Konvergenzbeweis
(ausser etwa im Fall einer monotonen, beschränkten
Folge) den Grenzwert der Folge schon kennen, damit
man dann den entsprechenden Epsilonbeweis durch-
führen kann. Kennt man aber den Grenzwert noch nicht,
kann man unter Umständen mit dem Cauchy-Kriterium
trotzdem beweisen, dass einer existieren muss.
Die Idee dabei ist folgende: Wenn zu jedem noch so
kleinen positiven Epsilon die Distanz zweier beliebiger
Folgenglieder kleiner als Epsilon wird, wenn nur die
Nummern beider Glieder genügend groß sind (nämlich
größer als [mm] N_{\epsilon}), [/mm] dann muss die Folge einen Grenzwert
haben.
LG Al-Chw.
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