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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Mo 23.04.2012 | | Autor: | eichi |
Hallo!
Ich hab hier eine Definition einer Matrixnorm, aber ich kann mir irgendwie darunter wenig vorstellen.
Sei ||.|| eine beliebige Norm auf[mm]\IR^n[/mm]
[mm]\left \| A \right \| := sup_{x \neq 0} \bruch{\left \| Ax \right \|}{\left \| x \right \|} A \in \IR^{nxn}[/mm]
x ist glaube ich ein Skalar in [mm]\IR^n[/mm]
Mich verwirrt dieses sup...wird wohl Supremum sein.
Und generell ist mir glabe ich klar, was das ist:
Der Wert, der am nähsten zum größten Wert in einer Menge liegt, aber selbst nicht in der Menge enthalten ist
Aber wie verstehe ich das in dieser Normdefinition?
Kann mir vielleicht jemand in einer vereinfachten Erklärung erläutern, was dort gemeint ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Hallo!
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> Ich hab hier eine Definition einer Matrixnorm, aber ich
> kann mir irgendwie darunter wenig vorstellen.
das brauchst Du auch nicht. Du sollst die Definition verstehen und erkennen, warum das eine Norm ist!
> Sei ||.|| eine beliebige Norm auf[mm]\IR^n[/mm]
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> [mm]\left \| A \right \| := sup_{x \neq 0} \bruch{\left \| Ax \right \|}{\left \| x \right \|} A \in \IR^{nxn}[/mm]
>
> x ist glaube ich ein Skalar in [mm]\IR^n[/mm]
Das [mm] $x\,$ [/mm] ist ein (Spalten-)Vektor des [mm] $\IR^n\,$ [/mm] - und $x [mm] \not=0$ [/mm] besagt, dass es nicht der [mm] ($n\,$-komponentige) [/mm] Nullspaltenvektor sein soll!
> Mich verwirrt dieses sup...wird wohl Supremum sein.
Natürlich.
> Und generell ist mir glabe ich klar, was das ist:
> Der Wert, der am nähsten zum größten Wert in einer
> Menge liegt, aber selbst nicht in der Menge enthalten ist
Das Supremum kann auch in der Menge liegen. Bei nach oben beschränkten Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] ist das Supremum die kleinste obere Schranke. Wenn dieses Supremum auch in der Menge liegt, dann ist das Supremum auch das Maximum der Menge. Aber ein Supremum muss nun mal kein Maximum sein. (Umgekehrt ist das Maximum einer Menge stets auch das Supremum dieser!)
> Aber wie verstehe ich das in dieser Normdefinition?
Ganz einfach, formal sauberer/ausführlicher würde ich es so schreiben:
[mm] $$\sup_{x \not=0} \|A*x\|/\|x\|=\sup \left\{\frac{\|A*x\|}{\|x\|}: x \in \IR^n \setminus \{0\}\right\}\,,$$
[/mm]
wobei [mm] $0\,$ [/mm] der [mm] $0\,$-Spaltenvektor [/mm] des [mm] $\IR^n$ [/mm] sei.
Das heißt:
Im Prinzip kannst Du Dir das "algorithmisch" so vorstellen (nicht wirklich, weil die Menge [mm] $\IR^n$ [/mm] nicht abzählbar geschweige den endlich ist, aber die Vorgehensweise kann man sich dennoch "abstrakt" vorstellen):
Zunächst sei [mm] $M=\emptyset\,.$ [/mm] Alle $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] seien "unmarkiert".
0.) Wähle ein ("unmarkiertes") $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}\,,$ [/mm] "markiere" es und dann mache folgendes:
1.) Berechnet [mm] $y=A*x\,.$ [/mm] Dann ist $y=A*x [mm] \in \IR^n$ [/mm] (weil $A [mm] \in \IR^{n \times n}$) [/mm] - auch [mm] $y=0\,$ [/mm] kann sein (wenn der Kern von [mm] $A\,$ [/mm] nicht trivial ist).
2.) Für dieses [mm] $y=A*x\,$ [/mm] berechnet man [mm] $\|y\|\,.$ [/mm] Danach berechne [mm] $r:=\|y\|/\|x\|\,,$ [/mm] was wegen [mm] $\|x\| [/mm] > 0$ geht - insbesondere ist dann $r [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
3.) Nimm' den Wert [mm] $r=r(x)\,$ [/mm] in [mm] $M\,$ [/mm] auf: $M [mm] \leftarrow (M \cup \{r\})\,.$
Wiederhole die Schritte 0.),1.),2.),3.) solange, bis kein "unmarkiertes" $x \in \IR\setminus \{0\}$ mehr existiert.
Für die so entstandene Menge $M \subseteq [0,\infty) \subseteq \IR$ berechne nun das Supremum.
> Kann mir vielleicht jemand in einer vereinfachten
> Erklärung erläutern, was dort gemeint ist?
Naja, das wäre die Erklärung rein mit der obigen Definition. Man kann sie aber offensichtlich vereinfachen:
a.) Die Menge $N_{\|.\|}(\IR^n)=N(\IR^n):=\{\;x/\|x\|: x \in \IR^n\;\}$ ist die Menge der Einheitsvektoren (bzgl. $\|.\|$) - jeder Vektor aus $N(\IR^n)$ hat also bzgl. $\|.\|$ die Länge $1\,.$ Anders gesagt: $N(\IR^n)$ ist der Rand des $\IR^n$-Einheitskreises bzgl. der Norm $\|.\|\,.$
b) Beachte $\|\lambda z\|=|\lambda|* \|z\|$ für $\lambda \in \IR$ Skalar und $z \in \IR^n$ Spaltenvektor.
c) Inklusive bekannter Matrizenrechenregeln ist daher
$$\sup_{x \not=0} \|A*x\|/\|x\|=\sup \left\{\|A*n\|: n \in N(\IR^n)\right\}=\sup\{A*w:\;w \in \IR^n \text{ mit }\|w\|=1\}\,.$$
Also:
Eigentlich kann man kurz sagen:
$\|A\|$ (wobei es nicht wirklich gut ist, das gleiche Symbol $\|.\|$ zu verwenden, weil das eigentlich schon für Vektoren des $\IR^n$ benutzt wird - aber aus dem Zusammenhang ist klar, wann es welche Bedeutung hat) entsteht eigentlich so:
"Man durchläuft alle Vektoren $w\,$ des $\IR^n\,,$ die bzgl. (der $\IR^n$-Norm(!!)) $\|.\|$ die Länge $1\,$ haben, also $\|w\|=1$ erfüllen. Für jedes solche $w$ berechnet man $y=y(w)=A*w \in \IR^n$ Danach schaut man, welche Norm (bzgl. des $\IR^n$(!!)) nun das so berechnete $y\,$ hat, man berechnet also $r=r(w)=\|y(w)\|=\|A*w\|\,.$ Für alle $w\,$ mit $\|w\|=1$ berechnet man so diese Werte $r=r(w) \ge 0\,,$ sammelt alle diese $r\,$ in einer Menge und bildet schlussendlich das Supremum über diese 'Sammel-Menge'."
Oder auch ganz ganz kurz eine andere Erklärung:
Für die Matrix $A\,$ betrachte die (lineare) Abbildung $f=f_A: \IR^n \to \IR^n$ gegeben durch $f(x):=A*x\,.$
Betrachte $B:=f(N_{\|.\|}(\IR^n))\,,$ also das Bild der Einheitsvektoren des $\IR^n$ bzgl. $\|.\|$ bezogen auf die unter der Matrix $A\,$ wie oben gegebenen Abbildung $f\,.$ Dann ist $\|A\|=\sup\{\|b\|: b \in B\}\,.$
Gruß,
Marcel
[/mm]
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