Definition Signiertes Maß < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Fr 14.05.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Hab gerade einen Hänger:
Im Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage, ließt man auf Seite 267/268 im Kapital VII über Absolute Stetigkeit, dass eine Abbildung
[mm] \nu:\mathcal{A}\to \overline{\IR} [/mm] auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm] \mathcal{A} [/mm] über einer beliebigen Menge X ein signiertes Maß sei, wenn
(i) [mm] \nu(\emptyset)=0
[/mm]
(ii) [mm] \nu(\mathcal{A})\subset(-\infty,\infty] [/mm] oder [mm] \nu(\mathcal{A})\subset[-\infty,\infty)
[/mm]
(iii) Für disjunkte und abzählbar viele [mm] A_i\in\mathcal{A} [/mm] gelte [mm] \nu(\cup A_i)=\summe \nu(A_i)
[/mm]
Eine direkte Folgerung dieser Definition sei,
(1)
dass, wenn [mm] |\nu( \cup A_i)|<\infty [/mm] gelte, die Reihe [mm] \summe \nu(A_i) [/mm] absolut kongergiere. Als Begründung wird angeführt, dass alle [mm] \nu(A_i)\in\IR [/mm] seien und dann wegen (iii) die Reihe unbedingt, also auch absolut konvergiere.
(2)
Dass alle [mm] \nu(A_i)\in\IR [/mm] seien, würde daraus folgen, dass ja mit [mm] |\nu(A)|<\infty [/mm] und [mm] B\subset [/mm] A wegen [mm] A=B\cup A\backslash [/mm] B dann auch [mm] |\nu(B)|<\infty [/mm] gelte, weil nach (ii) beide Summanden endlich seien.
Frage zu (2):
Ist das so zu verstehen: Wegen (iii) gilt [mm] \nu(A)=\nu(B)+\nu(A\backslash [/mm] B). Wegen (ii) kann in der Gleichung entweder nur [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] auftauchen. Wenn aber schon [mm] |\nu(A)|<\infty [/mm] gilt, kann B kein unendliches Maß haben, da das Maß von [mm] A\backslash [/mm] B dann nichts an dem Unendlich-sein der rechten Seite ändert.
Fragen zu (1)
(a)
Ist die Endlichkeit von [mm] \nu(A_i) [/mm] durch [mm] A=A_i \cup A\backslash A_i [/mm] mit obiger Argumentation unter "Frage zu (2)" einzusehen?
(b)
Was bedeutet die Reihe konvergiere "unbedingt"?
(c)
Absolute Konvergenz der Reihe ist für mich, dass [mm] \summe |\nu(A_i)|<\infty [/mm] existiert. Wieso folgt das aus der Endlichkeit von [mm] \summe \nu(A_i)?
[/mm]
LG
gfm
Hab die Frage nur hier gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Fr 14.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Da ich wenig Zeit habe, nur die Antwort auf die Frage,
"Was bedeutet die Reihe konvergiere "unbedingt"? "
Eine Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung der Reihe wieder konvergiert.
Man kann zeigen:
Eine Reihe konvergiert unbedingt genau dann wenn siw absolut konvergiert.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Fr 14.05.2010 | | Autor: | gfm |
:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo!
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> Hab gerade einen Hänger:
>
> Im Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage,
> ließt man auf Seite 267/268 im Kapital VII über Absolute
> Stetigkeit, dass eine Abbildung
>
> [mm]\nu:\mathcal{A}\to \overline{\IR}[/mm] auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\mathcal{A}[/mm] über einer beliebigen Menge X ein signiertes
> Maß sei, wenn
>
> (i) [mm]\nu(\emptyset)=0[/mm]
> (ii) [mm]\nu(\mathcal{A})\red{\subset}(-\infty,\infty][/mm]
Da steht sicherlich [mm]\nu(\mathcal{A})\blue{\in}(-\infty,\infty][/mm]!
edit: Das war Quatsch meinerseits. Siehe die Korrektur von gfm in der nachfolgenden Frage.
> oder
> [mm]\nu(\mathcal{A})\red{\subset}[-\infty,\infty)[/mm]
Da steht sicherlich [mm]\nu(\mathcal{A})\blue{\in}[-\infty,\infty)[/mm]!
edit: Das war Quatsch meinerseits. Siehe die Korrektur von gfm in der nachfolgenden Frage.
> (iii) Für disjunkte und abzählbar viele
> [mm]A_i\in\mathcal{A}[/mm] gelte [mm]\nu(\cup A_i)=\summe \nu(A_i)[/mm]
>
> Eine direkte Folgerung dieser Definition sei,
>
> (1)
>
> dass, wenn [mm]|\nu( \cup A_i)|<\infty[/mm] gelte, die Reihe [mm]\summe \nu(A_i)[/mm]
> absolut kongergiere. Als Begründung wird angeführt, dass
> alle [mm]\nu(A_i)\in\IR[/mm] seien und dann wegen (iii) die Reihe
> unbedingt, also auch absolut konvergiere.
Mit dem von Fred gesagten (was Du auch ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen kannst; zu beachten ist, dass die Summe bzw. die Summanden Elemente eines endlichdimensionalen Banachraumes sind: weil [mm] $|\summe \nu(A_i)| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] sind dann alle [mm] $\nu(A_i) \in \IR$) [/mm] folgt das sofort. Denn:
Ist [mm] $\sigma: \IN \to \IN$ [/mm] bijektiv, so ist für (disjunkte) Mengen [mm] $A_i$ [/mm] dann
[mm] $$\bigcup_{i \in \IN}A_i=\bigcup_{i \in \IN}A_{\sigma(i)}\,.$$
[/mm]
Daher gilt
[mm] $$\nu(\cup A_i)=\nu(\cup A_{\sigma(i)})$$
[/mm]
und wegen (iii) dann
[mm] $$\summe \nu(A_i)=\summe \nu(A_{\sigma(i)})\,.$$
[/mm]
Im eindimensionalen Banachraum [mm] $(\IR,|\cdot|)$ [/mm] ist also wegen (iii) in der Tat die Reihe unbedingt, und damit auch absolut, konvergent.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Fr 14.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
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> > Hallo!
> >
> > Hab gerade einen Hänger:
> >
> > Im Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage,
> > ließt man auf Seite 267/268 im Kapital VII über Absolute
> > Stetigkeit, dass eine Abbildung
> >
> > [mm]\nu:\mathcal{A}\to \overline{\IR}[/mm] auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> > [mm]\mathcal{A}[/mm] über einer beliebigen Menge X ein signiertes
> > Maß sei, wenn
> >
> > (i) [mm]\nu(\emptyset)=0[/mm]
> > (ii) [mm]\nu(\mathcal{A})\red{\subset}(-\infty,\infty][/mm]
>
> Da steht sicherlich
> [mm]\nu(\mathcal{A})\blue{\in}(-\infty,\infty][/mm]!
Nein, denn [mm] \nu(\mathcal{A}) [/mm] ist ja die Bildmenge.
> Mit dem von Fred gesagten (was Du auch
> hier
> nachlesen kannst; zu beachten ist, dass die Summe bzw. die
> Summanden Elemente eines endlichdimensionalen Banachraumes
> sind: weil [mm]|\summe \nu(A_i)| < \infty[/mm] sind dann alle
> [mm]\nu(A_i) \in \IR[/mm]) folgt das sofort. Denn:
> Ist [mm]\sigma: \IN \to \IN[/mm] bijektiv, so ist für disjunkte
> Mengen [mm]A_i[/mm] dann
> [mm]\bigcup_{i \in \IN}A_i=\bigcup_{i \in \IN}A_{\sigma(i)}\,.[/mm]
>
> Daher gilt
> [mm]\nu(\cup A_i)=\nu(\cup A_{\sigma(i)})[/mm]
> und wegen (iii)
> dann
> [mm]\summe \nu(A_i)=\summe \nu(A_{\sigma(i)})\,.[/mm]
>
> Im eindimensionalen Banachraum [mm](\IR,|\cdot|)[/mm] ist also wegen
> (iii) in der Tat die Reihe unbedingt, und damit auch
> absolut, konvergent.
>
Sehr schön. In (iii) ist also implizit schon die absolute Konvergenz eingebaut.
Ich nehme an, dass man dass erst so richtig halt bei Maßen mit unendlich dimensionalen Bildern braucht.
Vielen Dank und LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo!
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> > > Hallo!
> > >
> > > Hab gerade einen Hänger:
> > >
> > > Im Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage,
> > > ließt man auf Seite 267/268 im Kapital VII über Absolute
> > > Stetigkeit, dass eine Abbildung
> > >
> > > [mm]\nu:\mathcal{A}\to \overline{\IR}[/mm] auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> > > [mm]\mathcal{A}[/mm] über einer beliebigen Menge X ein signiertes
> > > Maß sei, wenn
> > >
> > > (i) [mm]\nu(\emptyset)=0[/mm]
> > > (ii) [mm]\nu(\mathcal{A})\red{\subset}(-\infty,\infty][/mm]
> >
> > Da steht sicherlich
> > [mm]\nu(\mathcal{A})\blue{\in}(-\infty,\infty][/mm]!
>
> Nein, denn [mm]\nu(\mathcal{A})[/mm] ist ja die Bildmenge.
ach stimmt. Da bin ich durcheinander gekommen. So machen die Forderungen auch mehr Sinn (bzw. überhaupt Sinn):
[mm] $$\nu(\mathcal{A})\blue{\subset}(-\infty,\infty]$$
[/mm]
bedeutet ja
[mm] $$\nu(A)\blue{\in}(-\infty,\infty]$$
[/mm]
für alle $A [mm] \in \mathcal{A}\,.$ [/mm] Ich hatte mich auch schon wegen der zwei Fällen gewundert, warum man da nicht einfach
[mm] $$\nu(\mathcal{A}) \in [-\infty,\infty]$$
[/mm]
geschrieben hat. Sorry und Danke für die Korrektur meiner falschen Korrektur! 
> > Mit dem von Fred gesagten (was Du auch
> > hier
> > nachlesen kannst; zu beachten ist, dass die Summe bzw. die
> > Summanden Elemente eines endlichdimensionalen Banachraumes
> > sind: weil [mm]|\summe \nu(A_i)| < \infty[/mm] sind dann alle
> > [mm]\nu(A_i) \in \IR[/mm]) folgt das sofort. Denn:
> > Ist [mm]\sigma: \IN \to \IN[/mm] bijektiv, so ist für disjunkte
> > Mengen [mm]A_i[/mm] dann
> > [mm]\bigcup_{i \in \IN}A_i=\bigcup_{i \in \IN}A_{\sigma(i)}\,.[/mm]
>
> >
> > Daher gilt
> > [mm]\nu(\cup A_i)=\nu(\cup A_{\sigma(i)})[/mm]
> > und wegen (iii)
> > dann
> > [mm]\summe \nu(A_i)=\summe \nu(A_{\sigma(i)})\,.[/mm]
> >
> > Im eindimensionalen Banachraum [mm](\IR,|\cdot|)[/mm] ist also wegen
> > (iii) in der Tat die Reihe unbedingt, und damit auch
> > absolut, konvergent.
> >
>
> Sehr schön. In (iii) ist also implizit schon die absolute
> Konvergenz eingebaut.
Genau.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Fr 14.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal!
> Hallo!
>
> Hab gerade einen Hänger:
>
> Im Elstrodt, Maß- und Integrationstheorie, 2. Auflage,
> ließt man auf Seite 267/268 im Kapital VII über Absolute
> Stetigkeit, dass eine Abbildung
>
> [mm]\nu:\mathcal{A}\to \overline{\IR}[/mm] auf einer [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> [mm]\mathcal{A}[/mm] über einer beliebigen Menge X ein signiertes
> Maß sei, wenn
>
> (i) [mm]\nu(\emptyset)=0[/mm]
> (ii) [mm]\nu(\mathcal{A})\subset(-\infty,\infty][/mm] oder
> [mm]\nu(\mathcal{A})\subset[-\infty,\infty)[/mm]
> (iii) Für disjunkte und abzählbar viele
> [mm]A_i\in\mathcal{A}[/mm] gelte [mm]\nu(\cup A_i)=\summe \nu(A_i)[/mm]
>
> Eine direkte Folgerung dieser Definition sei,
>
> (1)
>
> dass, wenn [mm]|\nu( \cup A_i)|<\infty[/mm] gelte, die Reihe [mm]\summe \nu(A_i)[/mm]
> absolut kongergiere. Als Begründung wird angeführt, dass
> alle [mm]\nu(A_i)\in\IR[/mm] seien und dann wegen (iii) die Reihe
> unbedingt, also auch absolut konvergiere.
>
> (2)
>
> Dass alle [mm]\nu(A_i)\in\IR[/mm] seien, würde daraus folgen, dass
> ja mit [mm]|\nu(A)|<\infty[/mm] und [mm]B\subset[/mm] A wegen [mm]A=B\cup A\backslash[/mm]
> B dann auch [mm]|\nu(B)|<\infty[/mm] gelte, weil nach (ii) beide
> Summanden endlich seien.
>
> Frage zu (2):
>
> Ist das so zu verstehen: Wegen (iii) gilt
> [mm]\nu(A)=\nu(B)+\nu(A\backslash[/mm] B). Wegen (ii) kann in der
> Gleichung entweder nur [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm] auftauchen. Wenn
> aber schon [mm]|\nu(A)|<\infty[/mm] gilt, kann B kein unendliches
> Maß haben, da das Maß von [mm]A\backslash[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B dann nichts an
> dem Unendlich-sein der rechten Seite ändert.
Ja, ich denke, dass das richtig ist, wie Du es beschreibst. (Der rotmarkierte Satz macht mir allerdings ein wenig Sorgen. Wenn es so gemeint ist:
Auf der rechten Seite der Gleichung kann entweder
"$\infty+\infty$ oder $\infty+r$ ($r \in \IR$) und damit $\infty$"
oder aber
"$-\infty+(-\infty)$ oder $-\infty+r$ ($r \in \IR$) und damit $-\infty$"
stehen, wenn $|\nu(B)|=\infty$ gelten würde...Widerspruch.
Dann wäre es okay!)
Gemeint ist hier übrigens sicherlich, dass (für abzählbar viele disjunkte $A_i$) aus $|\nu(\cup A_i)| < \infty$ schon $\nu(A_i) \in \IR$ für alle $i\,$ folgt.
Damit's aber ganz klar ist/wird, hier nochmal das ganze mit meinen Worten:
Nehmen wir an, es gebe (mindestens) ein $j \in \IN$ mit $|\nu(A_j)|=\infty\,.$ Setze $A=\cup A_i$ und $B=A_j\,.$ Dann gilt
$$A=\blue{(A \setminus B) \cup B}\;\;\;\left(=(\bigcup\limits_{i \not=j} A_i) \cup A_j\right)\,,$$
wobei die rechte Seite eine disjunkte Vereinigung abzählbar vieler Mengen (der Sigma-Algebra $\mathcal{A}$) ist (es sind ja nur zwei Mengen, und diese sind disjunkt, weil die (abzählbar vielen) $A_i$ ja als disjunkt vorausgesetzt wurden).
Daher gilt
$$\nu(A)=\nu(A \setminus B)+\nu(B)$$
wegen (iii).
(Und eigentlich spielt hier auch (i) eine Rolle:
$(A\setminus B) \cup B=(A\setminus B) \cup B \cup \emptyset \cup \emptyset \ldots$
$\Rightarrow \nu((A\setminus B) \cup B)=\nu(A\setminus B) +\nu(B) +\underbrace{\nu(\emptyset)}_{=0}}+\underbrace{\nu(\emptyset)}_{=0}}+ \ldots=\nu(A\setminus B) +\nu(B)\,.$)
Und wäre nun $|\nu(B)|=\infty$, so folgte auch $|\nu(A)|=\infty$ im Widerspruch zu $|\nu(A)|=|\nu(\cup A_i)| < \infty\,.$
(Beachte: $\infty+r=\infty$ für jedes $r \in (-\infty,\infty]$ sowie $-\infty+r=-\infty$ für jedes $r \in [-\infty,\infty)$.)
Also muss $|\nu(B)| < \infty$, und damit $|\nu(A_j)| < \infty$ - bzw. äquivalent dazu: $\nu(A_j) \in \IR$ - gelten. Widerspruch. Somit ist $\nu(A_i) \in \IR$ für jedes $i \in \IN\,.$
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Sa 15.05.2010 | | Autor: | gfm |
Ja, prima, so sind auch meine Gedankengänge.
Vielen Dank für Dein Feedback!
LG
gfm
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