Definition Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 So 21.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Stetigkeit, und zwar:
In der Schule wird einem immer beigebracht, dass stetige Funktionen, diejenigen Funktionen sind, die man mit einem Stift durchzeichnen kann.
Jetzt wurde mir allerdings in der Vorlesung gesagt, dass diese "Definition" im Allgemeinen falsch sei, aber worin liegt der Fehler in dieser Definition, gibts dafür eventuell ein konkretes Gegenbeispiel?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 21.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> ich habe eine Frage zur Stetigkeit, und zwar:
> In der Schule wird einem immer beigebracht, dass stetige
> Funktionen, diejenigen Funktionen sind, die man mit einem
> Stift durchzeichnen kann.
> Jetzt wurde mir allerdings in der Vorlesung gesagt, dass
> diese "Definition" im Allgemeinen falsch sei, aber worin
> liegt der Fehler in dieser Definition, gibts dafür
> eventuell ein konkretes Gegenbeispiel?
Die Funktion [mm] $\IR\setminus\{0\}\to\IR$, $x\mapsto \frac1x$ [/mm] ist stetig, lässt sich aber nicht "mit einem Stift durchzeichnen".
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 21.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke für die schnelle Antwort, aber was ist denn mit Funktionen die keine Definitionslücken haben (also nicht wie in deinem Fall für x=0 nicht definiert sind) und stetig sind, kann man die nich allesamt "mit einem Stift durchzeichnen"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 21.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort, aber was ist denn mit
> Funktionen die keine Definitionslücken haben (also nicht
> wie in deinem Fall für x=0 nicht definiert sind) und stetig
> sind, kann man die nich allesamt "mit einem Stift
> durchzeichnen"?
Ja, das würde ich sagen, denn es gilt:
Wenn $f:\ [mm] X\to\IR$ [/mm] stetig ist und $X$ wegzusammenhängend ist, dann ist auch $f(X)$ wegzusammenhängend.
(Es kommt natürlich auf die Geschicklichkeit und die Ausdauer des Zeichners an  , z.B. bei f(0)=0 und [mm] $f(x):=x*\sin(1/x), x\not=0$)
[/mm]
Die Umkehrung ist auch fraglich:
Die Funktion [mm] $f(1):=1-10^{-100000}$, [/mm] $f(x):=1, [mm] x\not=1$ [/mm] kann man ohne Absetzen des Stiftes zeichnen, ist aber nicht stetig.
Um solche Spezialfälle mit der Stiftdefinition zu vereinbaren, muss man sich also immer weiter von dem entfernen, was man umgangssprachlich unter einem Stift versteht.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 21.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Du hast geschrieben:
Die Umkehrung ist auch fraglich:
Die Funktion [mm] $f(1):=1-10^{100000}$, [/mm] $f(x):=1, [mm] x\not=1$ [/mm] kann man ohne Absetzen des Stiftes zeichnen, ist aber nicht stetig.
Also die Umkehrung versteh ich nicht, da macht die Funktion an der Stelle x=1 einen deutlichen "Sprung", wieso sollte man diese Funktion also ohne einen Stift abzusetzen durchzeichen können? Das die Funktion an der Stelle 1 unstetig is, is mir klar
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 So 21.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Also die Umkehrung versteh ich nicht, da macht die
> Funktion an der Stelle x=1 einen deutlichen "Sprung", wieso
> sollte man diese Funktion also ohne einen Stift abzusetzen
Hab's in meiner vorherigen Antwort verbessert.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
|
