Definition Unabhängigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kalor |
Hallo
Ich brauche einige Eigenschaften der bedingten Erwartung zum ersten Mal. Nun habe ich auch ein bisschen in Wikipedia nachgelesen. Dann gibt es dort die Eigenschaft:
$\ E[X | [mm] \mathcal{B}] [/mm] = E[X] $ wenn $\ X $ unabhängig von $\ [mm] \mathcal{B}$.
[/mm]
Wie ist diese Unabhängigkeit zu verstehen? Ich kenne folgende Unabhängigkeitsbegriffe:
1. Zwei messbare Mengen sind unabhängig,
2. Zwei sigma Algebren sind unabhängig und
3. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, falls die von ihnen erzeugte sigma-Algebren unabhängig sind. ($\ [mm] \sigma(X) :=\{X^{-1}(B)| B \in \mathcal{B}(\IR) \} [/mm] $.
Meint man jetzt hier, dass diese erzeugte sigma-Algebra unabhängig von $\ [mm] \mathcal{B} [/mm] $ ist, d.h.
$\ [mm] P[A\cap [/mm] B ]=P[A]P[B] [mm] \forall [/mm] A [mm] \in \sigma(X),B\in \mathcal{B} [/mm] $ wobei $\ P $ ein Wahrscheinlichkeitsmass auf dem Raum ist.
mfg
KalOR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
ja, das meint man.
Die bed. Erwartung ist eine ZV. Sie weißt jedem [mm] $B\in\mathcal{B}$ [/mm] den Erwartungswert von X, sofern wir wissen, daß B eingetreten ist, zu.
[mm] $E(X|\mathcal{B}): \mathcal{B}\to \IR$
[/mm]
Ist jetzt die von X erzeugte [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] unabhängig von [mm] $\mathcal{B}$, [/mm] so ist auch die Wkeit für die verschiedenen Ausgänge von X unabhängig von [mm] $\mathcal{B}$. [/mm] D.h. unabhängig vom eingetretenen B kommt der normale EW raus.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Mi 12.10.2011 | | Autor: | kalor |
Danke für deine Antwort!
Mir war durchaus klar, dass die bedingte Erwartung ein ZV ist. Aber bei der Unabhängigkeit ging es ja um eine Zufallsvariable $\ X $ und eine (teil) sigma-Algebra $\ [mm] \mathcal{B}$.
[/mm]
Nochmals danke, für die Bestätigung meiner Annahme.
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