Definition des Vektorprodukts < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Das Vektorprodukt ist ja folgendermaßen definiert:
[mm] x\times{y}:=(x_2y_3-x_3y_2,x_3y_1-x_1y_3,x_1y_2-x_2y_1)
[/mm]
Das Ergebnis ist ein Vektor. Nun steht aber in meinem Buch direkt unter dieser Definition:
Diese Definition des Vektorprodukts kann man sich leichter merken durch die Regel
[mm] x\times{y}=\vmat{e_1&e_2&e_3\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3}=e_1\vmat{x_2&x_3\\y_2&y_3}-e_2\vmat{x_1&x_3\\y_1&y_3}+e_3\vmat{x_1&x_2\\y_1&y_2}
[/mm]
wobei man die Determinante formal nach der ersten Zeile entwickelt.
Aber das Ergebnis einer Determinante ist doch eine Zahl - wie kann es da das Vektorprodukt sein, bei dessen Ergebnis ja ein Vektor rauskommt? Irgendwie verstehe ich das nicht. Kann mir das jemand erklären?
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane!
Es ist nur eine Merkregel, und eigentlich eine falsche Verwendung der Determinante, denn [mm]e_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, e_2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, e_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] sind Vektoren, die man ja eigentlich nicht als Einträge einer Matrix hat.
[mm]x\times{y}=\vmat{e_1&e_2&e_3\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3}=e_1\vmat{x_2&x_3\\y_2&y_3}-e_2\vmat{x_1&x_3\\y_1&y_3}+e_3\vmat{x_1&x_2\\y_1&y_2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}*(x_2*y_3-x_3*y_2)-\vektor{0 \\ 1 \\ 0}*(x_1*y_3-x_3*y_1)+\vektor{0 \\ 0 \\ 1}*(x_1*y_2-x_2*y_1)=\vektor{x_2*y_3-x_3*y_2 \\ x_3*y_1 - x_1*y_3 \\ x_1*y_2-x_2*y_1}[/mm]
ist dann so wieder ein Vektor.
mfG
Daniel
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![[ballon]](/images/smileys/ballon.gif "[ballon]"){kind=small}
