Definition, relativ kompakt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mi 22.10.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
Sei $V$ ein endlich-dimensionaler Funktionenraum. Welche Eigenschaften muss ich nachweisen, wenn ich zeigen möchte, dass eine Teilmenge [mm] $A\subset [/mm] V$ relativ kompakt in $V$ ist?
Eine Möglichkeit wäre es doch, zu zeigen, dass es zu jeder Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}\subset [/mm] A$ eine in $V$ konvergente Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_{k\in\IN}\subset [/mm] V$ gibt, d.h. [mm] $x_{n_k}\longrightarrow x\in [/mm] V$ für [mm] $k\longrightarrow\infty$.
[/mm]
Ist das soweit richtig? Gibt es da irgendwie noch andere Möglichkeiten die relative Kompaktheit für endlich-dimensionale Funktionenräume zu zeigen?
Vielen Dank schon einmal. Gruß
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Hallo.
> Eine Möglichkeit wäre es doch, zu zeigen, dass es zu jeder Folge $
> [mm] (x_n)_{n\in\IN}\subset [/mm] A $ eine in V konvergente Teilfolge $
> [mm] (x_{n_k})_{k\in\IN}\subset [/mm] V $ gibt, d.h. $ [mm] x_{n_k}\longrightarrow x\in [/mm] > V $ für $ [mm] k\longrightarrow\infty [/mm] $.
Ja, das wäre eine Möglichkeit, aber es geht auch einfacher.
In allen endlichdimensionalen normierten [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$-Vektorräumen [/mm] gilt der Satz von Heine-Borel, der ja genau sagt, wie kompakte Mengen in diesen Vektorräumen aussehen.
Schau Dir den mal an, dann siehst Du schon weiter.
Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mi 22.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Ganz allgemein (in topologischen Räumen):
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt relativ kompakt, wenn ihre Abschließung kompakt ist.
FRED
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