Definitionen Meßbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 07.03.2010 | | Autor: | cycore |
| Aufgabe | | [mm] \mu^\*(A)=\mu^\*(S\cap A)+\mu^\*(S^c\cap A)\forall{S}\subset\IR^n\gdw A=B\cup{C} [/mm] , wobei B [mm] \sigma-Quader [/mm] und C Nullmenge |
Hallo allerseits - ich hoffe mir kann jemand kurzfristig helfen..
Stecke mal wieder kurzfristig in der Klausurvorbereitung für morgen früh und stoße hier auf folgendes Problem: in unserer Vorlesung haben wir die Meßbarkeit der Menge A mittels dem ersten Ausdruck eingeführt und in einem fremden skript habe ich gestern abend letztere Definition gefunden..ich gehe mal davon aus das die Definitionen gleichwertig sind, aber irgendwie will mir der Beweis der Richtung
[mm] \mu^\*(A)=\mu^\*(S\cap A)+\mu^\*(S^c\cap A)\forall{S}\subset\IR^n\Rightarrow A=B\cup{C} [/mm] , wobei B...
nicht gelingen und das erschüttert mich gerade irgendwie darin, dass ich dachte ich wäre ziemlich sicher in der sache...
Hat jemand zufällig eine idee? brauche ja garkeinen vollständigen Beweis, aber ich würde mich besser fühlen, wenn mir der Zusammenhang auch klar wäre!
Ach ja - habe die frage nur hier gestellt^^
LG cycore
ps. interessiert mich auch noch, wenn die fälligkeit abgelaufen sein sollte..nur ist es dann nicht so dringend ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:53 So 07.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Ich wär auch an einer Antwort interessiert. Soll das allgemein für alle Maße gelten? Ich dachte nämlich immer außer Caratheodory gäbs da nix, womit man direkt die Messbarkeit von Mengen prüfen könnte.
Ach, und noch etwas: Was ist denn ein [mm] \sigma [/mm] - Quader ?
Der Begriff ist mir noch nie untergekommen, und auch Google spuckt mir da nichts zu aus :).
Auch von mir schonmal ein Danke für jede Antwort.
Gruß,
Doing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 So 07.03.2010 | | Autor: | cycore |
soll nur für das lebesque-maß gelten wenn ich das hier richtig sehe...und [mm] \sigma-Quader [/mm] sind abzählbare vereinigungen von (links) halboffenen Quadern
hab das auch noch nie vorher gehört aber wenn der Prof. es ständig benutzt übernimmt man es irgendwie doch, vielleicht kennst du es (im zusammenhang mit dem [mm] \IR^n) [/mm] als Borel-Mengen..die menge der borel-mengen ist die kleinste [mm] \sigma-Algera [/mm] im [mm] \IR^n, [/mm] die alle halboffenen Quader enthält^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 So 07.03.2010 | | Autor: | cycore |
Okay - Ich denke ich habs (zumindest mich beruhigend) gelöst..sorry an alle die sich umsonst gedanken gemacht haben!
war in Gedanken wieder zu nah an der Definition^^
[mm] A\subset\IR^n [/mm] meßb. [mm] \Rightarrow [/mm] insb. [mm] \mu(A)=\mu^\*(A)=inf{\{\mu(Q) | A\subsetQ, Q ist \sigma-Quader\}} [/mm] ...Dementsprechend [mm] \forall{\varepsilon}\exists{Q}\subset\IR^n \sigma-Quader [/mm] mit [mm] A\subset{Q} [/mm] sod. [mm] \mu(A)=\mu(Q)+\varepsilon ''\Rightarrow'' A\backslash{Q} [/mm] nullm. [mm] \Rightarrow...
[/mm]
ich weiß das ist noch nicht so ganz standfest und ich hab da glaube ich ein bisschen was verkehrt herum - vielleicht muss man auch eher [mm] \mu_\* [/mm] betrachten um am ende alles richtig herum zu haben, aber so ungefähr nur ein bisschen detaillierter dürfte es gehen...
gruß cycore
ps: kann ich die frage selbst als beantwortet markieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 So 07.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
In dem Fall folgt das so wie ich das sehe sofort aus der Definition des Lebesgue-Maßes. Wenn nämlich A messbar ist, mit [mm] \lambda [/mm] (A)= [mm] \summe_{i}vol(Q_i) [/mm] wobei die [mm] Q_i [/mm] Quader sind, die A überdecken; so gibt es zu jedem [mm] Q_i [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] >0 einen Quader [mm] Q_i' [/mm] den man als halboffen wählen kann mit [mm] Q_i \subset Q_i' [/mm] und [mm] vol(Q'_i)
Von daher gibt es auch halboffene Quader [mm] Q_i' [/mm] mit [mm] \lambda (A)=\lambda (\bigcup_{i}Q'_{i}) [/mm] und A \ [mm] (\bigcup_{i}Q'_i) [/mm] ist eine Lebesgue-Nullmenge.
Gruß,
Doing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 So 07.03.2010 | | Autor: | cycore |
Sieht auf jeden fall sicherer aus als meins - Vielen Dank!!
Mann oh Mann..wenn ich das vorher gewusst hätte...mit der neu dazugewonnenen Definition werden soo viele beweise viel einfacher ;)
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