Definitions- und Wertebereich < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Und ich habe noch eine kleine Frage : Ich habe drei Funktionen f, g und h gegeben. Es gilt : N --> N . f ( x ) = [mm] x^{2} [/mm] , g ( x ) = x + 2 und h ( x ) = x - 5 .
Nun soll ich für f, g und h die größtmöglichen Definitionsbereiche angeben! Wie mache ich so etwas?
Des weiteren soll ich zeigen dass die Funktion g injektiv ist und soll anschließend den Wertebereich bestimmen. Die Injektivität zu zeigen ist nicht das Problem, aber ich weiß nicht wie ich den Wertebereich bestimmen kann.
Ich hoffe einer von euch kann mir helfen! Danke :)
|
|
| |
|
Hallo rotespinne!
Der Definitionsbereich (z.B. von $f$) ist die Teilmenge $D(f)$ von [mm] $\IN$ [/mm] (ich gehe mal davon aus, dass du mit N die natürlichen Zahlen gemeint hast), für die $f:\ [mm] D(f)\to \IN$ [/mm] wohldefiniert ist.
Was heißt wohldefiniert? Das bedeutet, dass $f:\ [mm] D(f)\to\IN,\ f(x)=x^2$ [/mm] "Sinn machen" soll. Es darf also nichts schief gehen. Zum einen heißt das also, dass jedem [mm] $x\in [/mm] D(f)$ genau ein Wert $f(x)$ zugeordnet wird. Und zum zweiten heißt das, dass dieser Wert $f(x)$ dann auch in [mm] $\IN$ [/mm] liegen muss.
Überprüfen wir das mal für $f$: Durch die Vorschrift [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] wird jedem $x$ ein $f(x)$ zugeordnet. Und für jedes [mm] $x\in\IN$ [/mm] ist auch [mm] $x^2\in \IN$. [/mm] Also ist der maximale Definitionsbereich [mm] $D(f)=\IN$!
[/mm]
Weißt du jetzt, wie du bei den anderen beiden Funktion vorgehen musst?
Den Wertebereich von $g$ bestimmst du, indem du überprüfst, auf welche Werte $D(g)$ abgebildet wird. Du machst also etwas in dieser Art:
Sei [mm] $y\in\IN$. [/mm] Angenommen, es gibt ein [mm] $x\in [/mm] D(g)$, so dass $g(x)=y$. Dann gilt: $x+2=y$ und damit $x=y-2$.
Dadurch hast du jetzt die Bedingung hergleitet, dass [mm] $y-2\in [/mm] D(g)$ liegen muss! Jetzt musst du nur noch zeigen, dass diese Bedingung auch hinreichend ist...
Kommst du damit weiter?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
Danke für die hilfe ! Ich habe mit N die natürlichen Zahlen gemeint :)
da N --> N gilt, darf ich im Definitionsbereich sowie im Wertebereich nur natürliche Zahlen einsetzen?
D. h. meine x Werte müssen aus N kommen, ebenso auch meine f ( x ) ???
Bei der 2. Aufgabe, die lautet : x + 2 , müsste ich erst so vorgehen, dass ich sage jedem x wird ein f ( x ) zugeordnet. oder?
x [mm] \varepsilon [/mm] N. Wenn ich nun natürliche Zahlen einsetze ( das sind ja nur die positiven ganzen Zahlen oder nicht ? ) dann bekomme ich ja logischerweise auch als f ( x ) NUR positive Werte raus.
Aber ist mein maximnaler definitionsbereich dann schon wieder nur N ?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> x [mm]\varepsilon[/mm] N. Wenn ich nun natürliche Zahlen einsetze (
> das sind ja nur die positiven ganzen Zahlen oder nicht ? )
Ja, [mm] $\IN$ [/mm] sind die positiven ganzen Zahlen.
> dann bekomme ich ja logischerweise auch als f ( x ) NUR
> positive Werte raus.
> Aber ist mein maximnaler definitionsbereich dann schon
> wieder nur N ?
Genau! Aber von nur kann eigentlich keine Rede sein, denn schließlich soll [mm] $D(g)\subseteq \IN$...
[/mm]
Bei $D(h)$ bekommst du dann allerdings eine Einschränkung...
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
also ist bei g meine maximale definitionsmenge auch wieder D ( f ) = N oder wie muss ich das schreiben?
ja bei h habe ich mir das folgendermaßen gedacht :
h ( x ) = x - 5 . Da hier auch gilt : N --> N muss folgendes rauskommen :
x [mm] \varepsilon [/mm] N , So und da ich mal wieder nur positive ganze Zahlen einsetzen darf, wäre es eigentlich möglich mit 0 zu beginnen . ABER: dann würde ich ja als f ( x ) = - 5 rausbekommen und das liegt nicht im angegebenen Wertebereich, denn dieser soll ja auch N sein!
Also wäre mein Definitionsbereich ja : alle N größer oder gleich 5. Richtig?? Wie ist denn dann die Schreibweise dafür?
|
|
|
| |
|
Wieso denn nicht größer oder gleich 5 ? wenn ich 5 einsetze dann erhalte ich aber doch 0! gehört diese nicht zu den natürlichen zahlen???
|
|
|
| |
|
0 ist zwar eine ganze Zahl, aber keine positive, dann das sind ja gerade die Zahlen $>0$...
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Fr 13.05.2005 | | Autor: | rotespinne |
Mist, das verwechsele ich immer :( Aber vielen vielen Dank für eure Hilfe :)
Ich werde sie wohl gleich nochmal brauchen bei einer anderen aufgabe :(
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das ist OK so!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Setz' doch mal $x \ = \ -5$ ein. Was erhältst Du?
