Definitions- und Wertebereich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:13 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Funktionen jeweils den größten Definitionsbereich und den
zugehörigen Wertebereich, und geben Sie (mit kurzer Begründung!) an, ob die Funktionen
stetig sind:
f(x)= [mm] \bruch{1}{ln(1-e^{-x})} [/mm] |
Guten Abend,
komme mal wieder nicht voran. In der Aufgabenstellung ist nicht gesagt in welcher Zahlenmenge wir rechnen. Würden wir uns in [mm] \IR [/mm] befinden müsste [mm] 1-e^{-x} [/mm] > 0 daraus folgt, dass x > 0 sein muss. Aber wie finde ich heraus wie groß x maximal sein darf ?
Naja und wenn wir noch die Komplexe Zahlenmenge in Betracht ziehen, dann gilt [mm] 1-e^{-x} [/mm] > 0 das auch nicht mehr.
grüße Andi
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> Bestimmen Sie für die Funktionen jeweils den größten
> Definitionsbereich und den
> zugehörigen Wertebereich, und geben Sie (mit kurzer
> Begründung!) an, ob die Funktionen
> stetig sind:
> f(x)= [mm]\bruch{1}{ln(1-e^{-x})}[/mm]
>
>
> Guten Abend,
> komme mal wieder nicht voran. In der Aufgabenstellung ist
> nicht gesagt in welcher Zahlenmenge wir rechnen. Würden
> wir uns in [mm]\IR[/mm] befinden
Hallo,
kommt die Aufgabe aus der "ganz normalen" Anfängervorlesung? Studienbeginn? Dann können wir davon ausgehen, daß die Grundmenge [mm] \IR [/mm] ist.
> müsste [mm]1-e^{-x}[/mm] > 0 daraus folgt,
> dass x > 0 sein muss. Aber wie finde ich heraus wie groß x
> maximal sein darf ?
Diesbezüglich gibt's keine Beschränkung - so wie Du es errechnet hast.
Ich konnte Deinen Ausführungen bisher nicht entnehmen, ob Du auch beachtet hast, daß der Nenner nicht =0 werden darf.
In Deiner Lösung mußt Du durchblicken lassen, daß dieses Problem durchdacht wurde.
> Naja und wenn wir noch die Komplexe Zahlenmenge in Betracht
> ziehen,
Wenn die Aufgabe aus der komplexen Analysis bzw. Funktionentheorie kommt, solltest Du Dich nochmal melden.
> dann gilt [mm]1-e^{-x}[/mm] > 0 das auch nicht mehr.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
Hallo angela.h.b.,
danke für deine Antwort. Die Aufgabe kommt aus dem zweiten Semester Informatik, da wir im ersten Semester schon komplexe zahlen hatten, bin ich mir unsicher.
"Diesbezüglich gibt's keine Beschränkung - so wie Du es errechnet hast".
Aber laut meinem Grafiktaschenrechner ist der Definitionsbereich nur bis x < 33 definiert.
Wie komme ich darauf ?
danke im voraus.
Andi
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Hallo,
> Aber laut meinem Grafiktaschenrechner ist der
> Definitionsbereich nur bis x < 33 definiert.
>
> Wie komme ich darauf ?
ich frage mich, wie du darauf kommst, dass der GTR den Definitionsbereich bestimmen kann? Bist du etwa der Ansicht, dass der Definitionsbereich an den seitlichen Displayrändern aufhört oder wie kommst du zu dieser Vermutung? 
Wenn die Veranstaltung, in der diese Aufgabe gestellt wurde 'Funktionentheorie' oder so ähnlich heißt, dann wäre [mm] \IC [/mm] die Urbildmenge und die Aufgabensetllung würde nicht wirklich Sinn ergeben.
Von daher nehmen wir doch mal an, dass es Funktionen vom Typ [mm] \IR->\IR [/mm] sind, die hier betrachtet werden. Undd muss, wie du richtig erkannt hast
[mm] 1-e^{-x}>0[/mm] [mm]\wedge[/mm][mm] 1-e^{-x}\ne{1}
[/mm]
sein. Letzteres ist ja gegeben, du musst nur noch begründen, weshalb (->Grenzverhalten der exp-Funktion). Die Unglöeichung ist ja schon gelöst und der Fefinitionsbereich ist natürlich die Menge der positiven reellen Zahlen [mm] \IR^{+}.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
Naja die Grafik hab ich mir garnicht angeguckt, aber laut Tabelle kommen für Werte von X < 1 und > 32 Error raus, kann aber sein, dass der Wert einfach zu Groß ist und er ihn einfach nicht anzeigen kann.
Aber danke, dann hat mich also nur der Taschenrechner verwirrt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
die Funktion strebt für [mm] x->\infty [/mm] sehr schnell gegen [mm] -\infty. [/mm] Von daher ist dort infach der darstellbare Zahlenbereich des Rechners überschritten und es gibt einen Überlauf. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> die Funktion strebt für [mm]x->\infty[/mm] sehr schnell gegen
> [mm]-\infty.[/mm] Von daher ist dort infach der darstellbare
> Zahlenbereich des Rechners überschritten und es gibt einen
> Überlauf.
joa:
Es war ja [mm] $f(x)=\bruch{1}{ln(1-e^{-x})}\,.$ [/mm] Für $0 < x [mm] \to [/mm] 0$ strebt [mm] $e^{-x}$ [/mm] "von unten" gegen die [mm] $1\,,$ [/mm] also $0 < [mm] 1-e^{-x} \to [/mm] 0$ und daher der [mm] $\ln$ [/mm] gegen diese von rechts gegen die Null laufende Zahl gegen [mm] $-\infty\,,$ [/mm] so dass die Funktion $f(x)$ für $x > [mm] 0\,$ [/mm] und "kleine" [mm] $x\,$ [/mm] dann negativ und entsprechend nahe an [mm] $0\,$ [/mm] ist und von unten gegen die Null läuft, wenn [mm] $x\,$ [/mm] von rechts gegen Null läuft.
Für $x [mm] \to \infty$ [/mm] strebt dann mit [mm] $y=1-e^{-x} [/mm] < 1$ das [mm] $y\,$ [/mm] von links gegen die [mm] $1\,.$ [/mm] Der [mm] $\ln(y)$ [/mm] ist also stets kleiner Null und [mm] $\ln(y)$ [/mm] strebt von unten gegen die Null, wenn [mm] $y\,$ [/mm] von links gegen Null läuft. Also strebt [mm] $1/\ln(y)\,$ [/mm] dann gegen [mm] $-\infty\,.$
[/mm]
P.S.
Zum Wertebereich:
Ich würde hier versuchen, mit dem MWS zu argumentieren. Sicher kann man sich auch mal das Monotonieverhalten der Funktion angucken (etwa mittels der Ableitung)...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Helbig |
Na gut, jetzt haben wir den Definitionsbereich. Aber was ist mit dem Wertebereich?
Interessant ist tatsächlich auch die Aufgabe im Komplexen. Dann ist $ [mm] \ln [/mm] $ der Hauptzweig des Logarithmus, so wie er etwa in Königsberger, Analysis 1, Seite 126, besprochen wird, noch vor dem Kapitel zur Differentialrechnung. Von daher besteht durchaus die Möglichkeit, daß diese Aufgabe auch im ersten Semester Analysis gestellt wird.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Mo 23.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Aber laut meinem Grafiktaschenrechner ist der
> > Definitionsbereich nur bis x < 33 definiert.
> >
> > Wie komme ich darauf ?
>
> ich frage mich, wie du darauf kommst, dass der GTR den
> Definitionsbereich bestimmen kann? Bist du etwa der
> Ansicht, dass der Definitionsbereich an den seitlichen
> Displayrändern aufhört oder wie kommst du zu dieser
> Vermutung?
>
> Wenn die Veranstaltung, in der diese Aufgabe gestellt wurde
> 'Funktionentheorie' oder so ähnlich heißt, dann wäre [mm]\IC[/mm]
> die Urbildmenge und die Aufgabensetllung würde nicht
> wirklich Sinn ergeben.
>
> Von daher nehmen wir doch mal an, dass es Funktionen vom
> Typ [mm]\IR->\IR[/mm] sind, die hier betrachtet werden. Undd muss,
> wie du richtig erkannt hast
>
> [mm]1-e^{-x}>0[/mm] [mm]\wedge[/mm][mm] 1-e^{-x}\ne{1}[/mm]
>
> sein. Letzteres ist ja gegeben, du musst nur noch
> begründen, weshalb (->Grenzverhalten der exp-Funktion).
warum braucht man das Grenzverhalten? Bekanntlich gilt [mm] $e^x [/mm] > 1$ für alle $x > [mm] 0\,,$ [/mm] und daraus folgt auch $0 < [mm] 1/e^x=e^{-x} [/mm] < 1$ für alle $x > [mm] 0\,.$
[/mm]
(Beachte: Dass [mm] $1-e^{-x} \not=1$ [/mm] für alle $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt, steckt ja schon in $0 < [mm] e^{-x}$ [/mm] für $x > [mm] 0\,$ [/mm] drin: Denn [mm] $1-e^{-x}=1$ [/mm] hätte [mm] $e^{-x}=0$ [/mm] zur Folge!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Di 24.04.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
ich meinte damit die einfache Tatsache, [mm] e^x>0, [/mm] die meiner Meinung nach besser durch
[mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}e^x=0 [/mm]
ergänzt wird. Außerdem würde dem Fragesteller das auch beim Werterbereich unmittelbar und ohne weitere Rechnung das Intervall [mm] (-\infty;0) [/mm] liefern.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ich meinte damit die einfache Tatsache, [mm]e^x>0,[/mm] die meiner
> Meinung nach besser durch
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}e^x=0[/mm]
>
> ergänzt wird.
ergänzen kann man es. Aber an der erwähnten Stelle braucht man's halt nicht.
> Außerdem würde dem Fragesteller das auch
> beim Werterbereich unmittelbar und ohne weitere Rechnung
> das Intervall [mm](-\infty;0)[/mm] liefern.
Ich denke, da sind wir uns einig: Ich habe das ja kurz angedeutet, dass das in Verbindung mit dem MWS dort sinnvoll ist. Alles klar
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Di 24.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie f¨ur die Funktionen jeweils den gr¨oßten Definitionsbereich und den
zugeh¨origen Wertebereich, und geben Sie (mit kurzer Begr¨undung!) an, ob die Funktionen
stetig sind:
[mm] f(x)=\bruch{1}{ln(1-e^{-x})} [/mm] |
Guten Morgen,
für die Aufgabe habe ich einen Definitionsbereich von [mm] (0;\infty]
[/mm]
also x > 0 und ist nach oben offen ich bin mir mit den Klammer da nicht so sicher.
Ich weiß, dass wenn [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] f(x) [mm] \approx [/mm] -2,18 ist, aber wenn ich nun [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) mache kommt da mumpitz raus, da [mm] e^{-x} [/mm] ggn 0 geht und somit da nurnoch [mm] \bruch{1}{ln(1)} [/mm] steht weiß ja nicht geht da ln(1) = 0 ist.
Muss ich das mit Ableitungen machen oder wie bekomme ich den Wertebereiche [mm] [-2,18;-\infty] [/mm] ?
Grüße Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:35 Di 24.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
Hallo Loddar,
ich bin mir nicht sicher ob ich das "von links oder rechts" richtig verstehe. Ich würd jetzt mal sagen, dass das Argument sich von links an die 1 nähert, da [mm] e^{-x} [/mm] mit steigendem x kleiner wird und somit [mm] 1-e^{-x} [/mm] ggn 1 geht. Oder ich sage, dass das Argument sich von rechts an die 1 nähert, da [mm] 1-e^{-x} [/mm] mit sinkendem [mm] e^{-x} [/mm] ggn 1 geht.
Aber ich vermute mal, dass mein erster Gedanke richtig war.
Sagen wir mal [mm] ln(1-e^{-x}) [/mm] nähert sich von links an 0 was uns das über den Wertebereich ?
Zu der Sache mit meinem falsch vermutetem Wertebereich. Du hast natürlich recht, ich bin von einem x>1 ausgegangen aber es gibt ja noch Werte 1 > x > 0
grüße Andi
/edit:
wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} f(x)\mapsto [/mm] 0
wenn [mm] \limes_{x\rightarrow 0} f(x)\mapsto -\infty
[/mm]
somit ist der Wertebereich [mm] (0;-\infty) [/mm] aber wie schreib ich, dass die ggn 0 gehen aber nie genau 0 sind ? Geht das so wenn ich das mit den PFeilen aufschreibe ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Di 24.04.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo Loddar,
> ich bin mir nicht sicher ob ich das "von links oder
> rechts" richtig verstehe. Ich würd jetzt mal sagen, dass
> das Argument sich von links an die 1 nähert, da [mm]e^{-x}[/mm] mit
> steigendem x kleiner wird und somit [mm]1-e^{-x}[/mm] ggn 1 geht.
Richtig!
Wir bestimmen mal ausführlich den Wertebereich [mm] $W_g$ [/mm] der Funktion
$ [mm] g\colon [/mm] (0; [mm] +\infty) \to \IR,\; x\mapsto 1-e^{-x} [/mm] $.
Da [mm] $\; [/mm] g $ auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] streng monoton wächst, folgt für $x > 0$:
[mm] $\;g(x)> [/mm] g(0) = 0 $.
Wegen $ [mm] e^{-x} [/mm] > 0 $ für alle $ [mm] x\in \IR [/mm] $ erhalten wir
[mm] $1-e^{-x} [/mm] < 1 $.
Damit haben wir schon mal:
$(0; 1) [mm] \subseteq W_g$.
[/mm]
Die Funktion [mm] $\;g [/mm] $ ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig. Damit folgt [mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] g(x) = g(0) = 0$, und es gibt zu jedem [mm] $\epsilon_1 [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so daß für alle [mm] $x\in (0,\delta)$ [/mm] gilt: $g(x) < [mm] \epsilon_1$. [/mm] Damit gibt es ein [mm] $x_1 [/mm] > 0$ mit
[mm] $g(x_1)<\epsilon_1$.
[/mm]
Zum anderen wissen wir, daß
[mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] 1- [mm] e^{-x} [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty} [/mm] 1 - [mm] \lim_{x\to\infty} e^{-x} [/mm] = 1 - 0 = 1$.
Das heißt, zu jedem $ [mm] \epsilon_2 [/mm] > 0 $ gibt es ein [mm] $A\in\IR$, [/mm] so daß für alle $ x > A$ [mm] $1-\epsilon_2 [/mm] < g(x) $ ist. Damit gibt es ein [mm] $x_2>0$ [/mm] mit
$ [mm] 1-\epsilon_2 [/mm] < [mm] g(x_2) [/mm] $.
Da $g$ stetig ist, nimmt $g$ jeden Wert zwischen [mm] $g(x_1)$ [/mm] und [mm] $g(x_2)$ [/mm] an, das heißt:
[mm] $[\epsilon_1; 1-\epsilon_2]\subseteq [g(x_1);g(x_2)] \subseteq W_g$.
[/mm]
Da [mm] $\epsilon_1$ [/mm] und [mm] $\epsilon_2$ [/mm] beliebig kleine positive Zahlen sind, folgt:
$(0;1) [mm] \subseteq W_g$ [/mm] und damit insgesamt:
$(0;1) = [mm] W_g$.
[/mm]
Ähnlich sieht man
[mm] $\bigl\{\ln y:y\in(0;1)\bigr\} =(-\infty; [/mm] 0)$ und
[mm] $\left\{\bruch 1 z: z\in(-\infty; 0)\right\} [/mm] = [mm] (-\infty; [/mm] 0)$.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Di 24.04.2012 | | Autor: | Helbig |
Hi Loddar,
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Der Wertebereich sollte am Ende [mm](0;-\infty)[/mm]
> ergeben.
Du meinst sicher $ [mm] (-\infty; [/mm] 0) $.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Di 24.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Wolfgang!
Da hast Du natürlich Recht. Da habe ich wohl "etwas" geträumt.
Ist oben nunmehr korrigiert.
Gruß
Loddar
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Schreibe am Ende aber besser eine runde Klammer, da [mm] $\infty$ [/mm] ein unbestimmter Ausdruck ist.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
